トップ› 東京大学› 2017年› 文系第1問

東京大学 2017年文系第1問解説

方針・初手

$P$ および $Q$ をそれぞれ定積分を用いて $s, t$ の式で表す。
「$2$ つの放物線 $A, B$ がただ $1$ 点を共有する」という条件から、$y$ を消去した $2$ 次方程式の判別式 $D=0$ を利用して $s, t$ の関係式を導く。
上記で得た関係式を用いて $\frac{Q}{P}$ を $1$ 変数の関数として表し、微分法を用いて最大値を求める。

解法1

放物線 $A : y = s(x-1)^2$ は頂点が $(1, 0)$ で下に凸の放物線である。 $0 \leqq x \leqq 1$ において $y \geqq 0$ であり、$x$ 軸および $y$ 軸と囲まれる領域の面積 $P$ は、

$$ \begin{aligned} P &= \int_{0}^{1} s(x-1)^2 dx \\ &= s \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{s}{3} \end{aligned} $$

放物線 $B : y = -x^2+t^2$ は頂点が $(0, t^2)$ で上に凸の放物線である。 $B$ と $x$ 軸との交点のうち $x \geqq 0$ の範囲にあるのは $x = t$ （$t>0$ より）である。 $0 \leqq x \leqq t$ において $y \geqq 0$ であり、$x$ 軸および $y$ 軸と囲まれる領域の面積 $Q$ は、

$$ \begin{aligned} Q &= \int_{0}^{t} (-x^2+t^2) dx \\ &= \left[ -\frac{x^3}{3} + t^2 x \right]_{0}^{t} \\ &= -\frac{t^3}{3} + t^3 \\ &= \frac{2}{3}t^3 \end{aligned} $$

次に、$A$ と $B$ がただ $1$ 点を共有する条件を考える。 $A$ と $B$ の式から $y$ を消去すると、

$$ s(x-1)^2 = -x^2+t^2 $$

これを整理して、

$$ (s+1)x^2 - 2sx + s - t^2 = 0 $$

$s > 0$ より $x^2$ の係数 $s+1$ は $0$ ではないため、これは $x$ についての $2$ 次方程式となる。 $A$ と $B$ がただ $1$ 点を共有するのは、この方程式がただ $1$ つの実数解（重解）をもつときである。この $2$ 次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となればよいので、

$$ \frac{D}{4} = (-s)^2 - (s+1)(s-t^2) = 0 $$

$$ s^2 - (s^2 - st^2 + s - t^2) = 0 $$

$$ st^2 - s + t^2 = 0 $$

$$ s(1-t^2) = t^2 $$

条件より $0 < t < 1$ であるから、$1-t^2 \neq 0$ となり、両辺を $1-t^2$ で割ることができる。

$$ s = \frac{t^2}{1-t^2} $$

（このとき、$0 < t < 1$ より $\frac{t^2}{1-t^2} > 0$ となり、$s>0$ の条件を満たしている）

求める $\frac{Q}{P}$ を $t$ を用いて表すと、

$$ \frac{Q}{P} = \frac{\frac{2}{3}t^3}{\frac{s}{3}} = \frac{2t^3}{s} $$

これに先ほど求めた $s$ の式を代入する。

$$ \begin{aligned} \frac{Q}{P} &= 2t^3 \cdot \frac{1-t^2}{t^2} \\ &= 2t(1-t^2) \\ &= -2t^3 + 2t \end{aligned} $$

ここで、$f(t) = -2t^3 + 2t \ (0 < t < 1)$ とおく。 $f(t)$ を $t$ で微分すると、

$$ f'(t) = -6t^2 + 2 = -2(3t^2 - 1) $$

$0 < t < 1$ の範囲において $f'(t) = 0$ となるのは、

$$ t = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

のときである。$f(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\cdots$	$(1)$
$f'(t)$		$+$	$0$	$-$
$f(t)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f(t)$ は $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき最大値をとる。その最大値は、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &= -2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 + 2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\ &= -\frac{2}{3\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{4}{3\sqrt{3}} \\ &= \frac{4\sqrt{3}}{9} \end{aligned} $$

解説

面積の計算、図形が接する（ただ $1$ 点を共有する）条件の処理、そして微分を用いた関数の最大値計算という、数学IIにおける微積分と方程式の標準的な組み合わせ問題である。「ただ $1$ 点を共有する」という条件を、放物線どうしであることから「連立した $2$ 次方程式の判別式 $D=0$」と言い換えることが本質的なポイントとなる。また、式変形の過程で $t$ の変域 ($0 < t < 1$) に注意し、分母が $0$ にならないことの確認や増減表の範囲指定を欠かさずに行うことが、論理的な答案作成において重要である。