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東京大学 1977年文系第1問解説

方針・初手

$f(x)$ が偶関数であることに着目し、考察する区間を $0 \leqq x \leqq 1$ に限定する。
絶対値の中身 $g(x) = x^3 - 3kx$ の増減を導関数から調べ、極値の有無によって $k$ の場合分けを行う。
区間の端点における値と極値を比較し、最大値 $M(k)$ を求める。求めた $M(k)$ の最小値を考える。

解法1

$f(x) = |x^3 - 3kx|$ について、

$$ f(-x) = |(-x)^3 - 3k(-x)| = |-x^3 + 3kx| = |x^3 - 3kx| = f(x) $$

であるから、$f(x)$ は偶関数である。したがって、$f(x)$ が $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲でとる最大値 $M(k)$ は、$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲でとる最大値に等しい。以下、$0 \leqq x \leqq 1$ における最大値を考える。

$g(x) = x^3 - 3kx$ とおくと、$g'(x) = 3x^2 - 3k = 3(x^2 - k)$ である。

(i) $k \leqq 0$ のとき

$0 \leqq x \leqq 1$ において $g'(x) \geqq 0$ であるから、$g(x)$ は単調に増加する。 $g(0) = 0$ より $g(x) \geqq 0$ となるため、$f(x) = g(x)$ も単調に増加する。したがって、$x=1$ で最大となり、最大値は $f(1) = 1 - 3k$ である。

(ii) $k > 0$ のとき

$g'(x) = 3(x - \sqrt{k})(x + \sqrt{k})$ と因数分解できるため、$g(x)$ は $x = \sqrt{k}$ で極小値をとる。極小値は $g(\sqrt{k}) = k\sqrt{k} - 3k\sqrt{k} = -2k\sqrt{k}$ である。 $x = 1$ のとき、$g(1) = 1 - 3k$ である。

(ア) $\sqrt{k} \geqq 1$ すなわち $k \geqq 1$ のとき

$0 \leqq x \leqq 1$ において $g'(x) \leqq 0$ であるから、$g(x)$ は単調に減少する。 $g(0) = 0$ より $g(x) \leqq 0$ となるため、$f(x) = -g(x)$ は単調に増加する。したがって、$x=1$ で最大となり、最大値は $f(1) = |1 - 3k| = 3k - 1$ である。

(イ) $0 < \sqrt{k} < 1$ すなわち $0 < k < 1$ のとき

$g(x)$ は $0 \leqq x \leqq \sqrt{k}$ で単調に減少し、$\sqrt{k} \leqq x \leqq 1$ で単調に増加する。このとき、$f(x)$ の区間における最大値は、極大値 $f(\sqrt{k})$ と右端の値 $f(1)$ のうち小さくない方となる。

$$ f(\sqrt{k}) = |-2k\sqrt{k}| = 2k\sqrt{k} $$

$$ f(1) = |1 - 3k| $$

これら2つの値の大小を比較するため、両者が正であることに注意して2乗の差をとる。

$$ \begin{aligned} (2k\sqrt{k})^2 - (1 - 3k)^2 &= 4k^3 - (1 - 6k + 9k^2) \\ &= 4k^3 - 9k^2 + 6k - 1 \\ &= (4k - 1)(k^2 - 2k + 1) \\ &= (4k - 1)(k - 1)^2 \end{aligned} $$

$0 < k < 1$ の範囲において $(k - 1)^2 > 0$ であるから、この式の符号は $4k - 1$ の符号と一致する。

$0 < k < \frac{1}{4}$ のとき、$(2k\sqrt{k})^2 < (1 - 3k)^2$ より $2k\sqrt{k} < |1 - 3k|$
$k = \frac{1}{4}$ のとき、$(2k\sqrt{k})^2 = (1 - 3k)^2$ より $2k\sqrt{k} = |1 - 3k|$
$\frac{1}{4} < k < 1$ のとき、$(2k\sqrt{k})^2 > (1 - 3k)^2$ より $2k\sqrt{k} > |1 - 3k|$

また、$0 < k \leqq \frac{1}{4}$ のとき $1 - 3k > 0$ より $|1 - 3k| = 1 - 3k$ である。したがって、$0 < k < 1$ における最大値は次のように分類される。 $0 < k \leqq \frac{1}{4}$ のとき、$M(k) = 1 - 3k$ $\frac{1}{4} \leqq k < 1$ のとき、$M(k) = 2k\sqrt{k}$

以上の（i）, （ii）の結果をまとめると、$M(k)$ は次のように表される。

$$ M(k) = \begin{cases} 1 - 3k & \left( k \leqq \frac{1}{4} \text{ のとき} \right) \\ 2k\sqrt{k} & \left( \frac{1}{4} < k < 1 \text{ のとき} \right) \\ 3k - 1 & \left( k \geqq 1 \text{ のとき} \right) \end{cases} $$

最後に、$M(k)$ の最小値を求める。

$k \leqq \frac{1}{4}$ の範囲では、$M(k) = 1 - 3k$ は単調に減少する。 $\frac{1}{4} < k < 1$ の範囲では、$M(k) = 2k^{\frac{3}{2}}$ であり、$k$ の増加とともに単調に増加する。 $k \geqq 1$ の範囲では、$M(k) = 3k - 1$ は単調に増加する。

したがって、$M(k)$ は $k = \frac{1}{4}$ のとき最小となる。最小値は、

$$ M\left(\frac{1}{4}\right) = 1 - 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $$

である。

解説

絶対値を含む関数の最大値の最小化（ミニマックス問題）の典型的な問題である。まず、関数が偶関数であることを見抜くことで、調べる区間を半分に減らすことができる。これにより計算ミスを減らし、場合分けを簡略化できる。区間の端点 $x=1$ の値と極値の大小関係が入れ替わる境界を調べる際、絶対値のまま比較するのは煩雑になるため、両辺が正であることを確認した上で2乗の差をとる手法が有効である。なお、本問は「チェビシェフ多項式」を背景としている。$k=\frac{1}{4}$ のとき、$f(x) = \frac{1}{4}|4x^3 - 3x|$ となり、絶対値の中身が第3種チェビシェフ多項式 $T_3(x)$ の定数倍と一致する。