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東京大学 1992年文系第2問解説

方針・初手

出資合計が $s$、甲の出資額が $a$ であることから、乙の出資額は $s - a$ と表せる。乙も出資しているという前提から、乙の出資額は $0$ 以上であるため、$s \geqq a$ である。利潤は出資額に応じて比例配分されるため、乙の利潤配分額を表す関数 $g(s)$ は、事業の利潤 $f(s)$ に対して全体の出資額 $s$ に占める乙の出資額の割合を掛けたものになる。したがって、$g(s) = \frac{s - a}{s} f(s)$ と立式できる。この $g(s)$ の $s \geqq a$ における最大値を与える $s$ を求めるために、場合分けされている $f(s)$ の各区間において微分を行い、増減を調べる。

解法1

乙の利潤配分額を $g(s)$ とすると、$s \geqq a$ において

$$ g(s) = \frac{s - a}{s} f(s) $$

である。$f(s)$ は $0 \leqq s \leqq 2$ と $s > 2$ で式が異なるため、区間を分けて考える。

(i)

$a \leqq s \leqq 2$ のとき

$$ g(s) = \frac{s - a}{s} \cdot \frac{1}{4} s(s - 3)^2 = \frac{1}{4} (s - a)(s - 3)^2 $$

$s$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} g'(s) &= \frac{1}{4} \left\{ 1 \cdot (s - 3)^2 + (s - a) \cdot 2(s - 3) \right\} \\ &= \frac{1}{4} (s - 3) \{ (s - 3) + 2(s - a) \} \\ &= \frac{1}{4} (s - 3)(3s - 2a - 3) \end{aligned} $$

$s \leqq 2$ より $s - 3 < 0$ であるから、$g'(s) = 0$ となるのは $3s - 2a - 3 = 0$ すなわち $s = \frac{2a + 3}{3}$ のときである。ここで、$0 \leqq a \leqq 2$ であるから、$\frac{2a + 3}{3} \geqq 1$ であり、また $\frac{2a + 3}{3} - a = \frac{3 - a}{3} > 0$ より $a < \frac{2a + 3}{3}$ である。したがって、$s = \frac{2a + 3}{3}$ は常に $s > a$ を満たす。これが考えている区間 $a \leqq s \leqq 2$ に含まれる条件は、

$$ \frac{2a + 3}{3} \leqq 2 \iff 2a + 3 \leqq 6 \iff a \leqq \frac{3}{2} $$

となる。

(ii)

$s > 2$ のとき

$$ \begin{aligned} g(s) &= \frac{s - a}{s} \left( -\frac{3}{4}s + 2 \right) \\ &= \left( 1 - \frac{a}{s} \right) \left( -\frac{3}{4}s + 2 \right) \\ &= -\frac{3}{4}s + 2 + \frac{3}{4}a - \frac{2a}{s} \end{aligned} $$

$s$ について微分すると、

$$ g'(s) = -\frac{3}{4} + \frac{2a}{s^2} = \frac{-3s^2 + 8a}{4s^2} $$

$g'(s) = 0$ となる $s$ ($s > 0$) は、$s = 2\sqrt{\frac{2a}{3}}$ である。これが考えている区間 $s > 2$ に含まれる条件は、

$$ 2\sqrt{\frac{2a}{3}} > 2 \iff \sqrt{\frac{2a}{3}} > 1 \iff \frac{2a}{3} > 1 \iff a > \frac{3}{2} $$

となる。

ここで $s = 2$ における $f(s)$ の連続性を確認する。 $\lim_{s \to 2-0} f(s) = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot (-1)^2 = \frac{1}{2}$ $\lim_{s \to 2+0} f(s) = -\frac{3}{4} \cdot 2 + 2 = \frac{1}{2}$ これより $f(s)$ は $s = 2$ で連続であり、したがって $g(s)$ も $s \geqq a$ において連続である。

以上の準備のもと、$a$ の値で場合分けをして $g(s)$ の増減を調べる。

(ア)

$0 \leqq a \leqq \frac{3}{2}$ のとき区間 $a \leqq s \leqq 2$ において、$g'(s) = 0$ となるのは $s = \frac{2a + 3}{3}$ のみである。

$a \leqq s < \frac{2a + 3}{3}$ では $s - 3 < 0$ かつ $3s - 2a - 3 < 0$ より $g'(s) > 0$、 $\frac{2a + 3}{3} < s \leqq 2$ では $s - 3 < 0$ かつ $3s - 2a - 3 > 0$ より $g'(s) < 0$ となる。

区間 $s > 2$ においては、$s^2 > 4$ および $a \leqq \frac{3}{2}$ より、$-3s^2 + 8a < -12 + 12 = 0$ となり、常に $g'(s) < 0$ である。したがって、$g(s)$ は $s = \frac{2a + 3}{3}$ で極大かつ最大となる。

(イ)

$\frac{3}{2} < a \leqq 2$ のとき区間 $a \leqq s \leqq 2$ において、$3s - 2a - 3 \leqq 6 - 2a - 3 = 3 - 2a < 0$ となり、常に $g'(s) > 0$ である。区間 $s > 2$ において、$g'(s) = 0$ となるのは $s = 2\sqrt{\frac{2a}{3}}$ のみである。 $2 < s < 2\sqrt{\frac{2a}{3}}$ では $-3s^2 + 8a > 0$ より $g'(s) > 0$、$s > 2\sqrt{\frac{2a}{3}}$ では $-3s^2 + 8a < 0$ より $g'(s) < 0$ となる。したがって、$g(s)$ は $s = 2\sqrt{\frac{2a}{3}}$ で極大かつ最大となる。

解説

問題文にある「利潤は出資額に応じて比例配分される」という条件から、乙の利潤配分額を自分で立式できるかが最大のポイントである。出資合計が $s$、甲が $a$ なので、乙は $s - a$ となり、配分比率が $\frac{s - a}{s}$ となる。これを $f(s)$ に掛けた関数 $g(s)$ の最大値を求めるため、微分して増減表（または導関数の符号変化）を調べるという数学II・IIIの標準的な微分の応用問題である。各区間における導関数 $g'(s) = 0$ の解が、定義されている区間に含まれるかどうかで場合分けが生じることに注意して処理を進めればよい。