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東京大学 2016年文系第3問解説

方針・初手

(1) 2つの放物線が点 $(-1, 1)$ で接するという条件は、「$x=-1$ における $y$ 座標が等しく、さらに微分係数（接線の傾き）も等しい」、あるいは「2つの放物線の式を引いた2次関数が $x=-1$ で重解をもつ」ことと同値である。計算量の少ない方針を選びたい。

(2) 平行移動の条件から放物線 $C$ の方程式を $t$ を用いて表し、放物線 $A$ と $C$ の交点の $x$ 座標を求める2次方程式を立てる。この方程式が異なる2つの実数解をもつ条件から、領域が囲まれる $t$ の範囲を求める。面積計算にはいわゆる $\frac{1}{6}$ 公式を利用する。

(3) (2) で求めた $S(t)$ は、根号の中に $t$ の2次関数が含まれる形になる。領域が囲まれる $t$ の範囲において、この2次関数が最大になる $t$ の値を平方完成によって求める。

解法1

(1)

$A: y = x^2$ より $y' = 2x$ であるから、$x = -1$ のときの微分係数は $-2$ である。したがって、点 $(-1, 1)$ における放物線 $A$ の接線の傾きは $-2$ である。

放物線 $B: y = -x^2 + px + q$ は点 $(-1, 1)$ で放物線 $A$ と接するので、点 $(-1, 1)$ を通り、かつ $x = -1$ における接線の傾きが $-2$ となる。

$B$ の式より $y' = -2x + p$ であるから、$x = -1$ のときの微分係数は $2 + p$ である。これが $-2$ に等しいので、

$$ 2 + p = -2 $$

これより $p = -4$ を得る。

また、$B$ は点 $(-1, 1)$ を通るので、

$$ 1 = -(-1)^2 + p \cdot (-1) + q $$

$$ 1 = -1 - p + q $$

$p = -4$ を代入して、

$$ 1 = -1 - (-4) + q $$

$$ q = -2 $$

以上より、$p = -4$、$q = -2$ である。

(2)

(1) より、放物線 $B$ の方程式は $y = -x^2 - 4x - 2$ である。放物線 $C$ は、これを $x$ 軸方向に $2t$、$y$ 軸方向に $t$ だけ平行移動したものであるから、その方程式は、

$$ y - t = -(x - 2t)^2 - 4(x - 2t) - 2 $$

整理すると、

$$ \begin{aligned} y &= -(x^2 - 4tx + 4t^2) - 4x + 8t - 2 + t \\ &= -x^2 + 4tx - 4t^2 - 4x + 9t - 2 \\ &= -x^2 + 4(t-1)x - 4t^2 + 9t - 2 \end{aligned} $$

となる。

放物線 $A$ と $C$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$ x^2 = -x^2 + 4(t-1)x - 4t^2 + 9t - 2 $$

すなわち、

$$ 2x^2 - 4(t-1)x + 4t^2 - 9t + 2 = 0 $$

の実数解である。この $x$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$ \begin{aligned} \frac{D}{4} &= \{-2(t-1)\}^2 - 2(4t^2 - 9t + 2) \\ &= 4(t^2 - 2t + 1) - 8t^2 + 18t - 4 \\ &= -4t^2 + 10t \\ &= 2t(5 - 2t) \end{aligned} $$

放物線 $A$ と $C$ が領域を囲むのは、2つの放物線が異なる2つの交点をもつとき、すなわち $D > 0$ となるときである。 $t > 0$ であるから、$5 - 2t > 0$ より $0 < t < \frac{5}{2}$ である。

このとき、2次方程式の2つの実数解を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とすると、解の公式より、

$$ \beta - \alpha = \frac{2(t-1) + \sqrt{-4t^2 + 10t}}{2} - \frac{2(t-1) - \sqrt{-4t^2 + 10t}}{2} = \sqrt{-4t^2 + 10t} $$

放物線 $A$ （下に凸）と $C$ （上に凸）の上下関係から、区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において $C$ が上、$A$ が下にあるので、求める面積 $S(t)$ は、

$$ \begin{aligned} S(t) &= \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ \left( -x^2 + 4(t-1)x - 4t^2 + 9t - 2 \right) - x^2 \right\} dx \\ &= -2 \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx \\ &= -2 \cdot \left( -\frac{1}{6} \right) (\beta - \alpha)^3 \\ &= \frac{1}{3} (\beta - \alpha)^3 \\ &= \frac{1}{3} (-4t^2 + 10t)^{\frac{3}{2}} \end{aligned} $$

一方、$t \geqq \frac{5}{2}$ のときは $D \leqq 0$ となり、放物線 $A$ と $C$ は領域を囲まないため、問題の定めより $S(t) = 0$ である。

(3)

(2) の結果より、$t > 0$ において $S(t) > 0$ となるのは $0 < t < \frac{5}{2}$ の範囲である。この範囲で $S(t)$ が最大となるのは、根号の中の式 $f(t) = -4t^2 + 10t$ が最大となるときである。

$$ \begin{aligned} f(t) &= -4 \left( t^2 - \frac{5}{2}t \right) \\ &= -4 \left( t - \frac{5}{4} \right)^2 + 4 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^2 \\ &= -4 \left( t - \frac{5}{4} \right)^2 + \frac{25}{4} \end{aligned} $$

$t = \frac{5}{4}$ は $0 < t < \frac{5}{2}$ を満たしており、このとき $f(t)$ は最大値 $\frac{25}{4}$ をとる。

したがって、$S(t)$ の最大値は、

$$ S\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{1}{3} \left( \frac{25}{4} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{24} $$

となる。

解法2

(1) について

放物線 $A$ と $B$ を表す関数をそれぞれ $f(x) = x^2$、$g(x) = -x^2 + px + q$ とする。 2つの放物線が $x = -1$ で接するということは、方程式 $f(x) = g(x)$ すなわち $f(x) - g(x) = 0$ が $x = -1$ を重解にもつということである。

$$ f(x) - g(x) = 2x^2 - px - q $$

この2次式の $x^2$ の係数は $2$ であり、$x = -1$ を重解にもつことから、次のように因数分解できるはずである。

$$ 2x^2 - px - q = 2(x + 1)^2 $$

右辺を展開すると、

$$ 2(x + 1)^2 = 2(x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 4x + 2 $$

これが $x$ についての恒等式となるので、各次数の係数を比較して、

$$ -p = 4 $$

$$ -q = 2 $$

これより、$p = -4$、$q = -2$ を得る。

解説

(1) について 2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ が $x = a$ で接するための条件は、$f(a) = g(a)$ かつ $f'(a) = g'(a)$ である（解法1）。また、多項式関数の場合、$f(x) - g(x)$ が $(x - a)^2$ を因数にもつこと（解法2）を利用すると、連立方程式を解く手間が省け、計算ミスを減らすことができる。特に2次関数同士の接線条件においては非常に強力な手法である。

(2) について 放物線と放物線で囲まれた面積を求める典型問題である。交点の $x$ 座標が複雑な式になるため、直接積分計算を行うのではなく、解の公式や解と係数の関係から交点の $x$ 座標の差 $\beta - \alpha$ を求め、いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を活用することが不可欠である。ここで、2次方程式の $x^2$ の係数が $-2$ となることによる積分の係数忘れに注意したい。

(3) について 面積の式全体を微分するのではなく、$\frac{3}{2}$ 乗の中身である2次関数の最大値を考えることで、計算量を大幅に削減できる。定義域 $0 < t < \frac{5}{2}$ の中に頂点が含まれるかの確認を忘れないようにする。