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東京大学 1978年理系第3問解説

方針・初手

点 $Q$ における法線の方程式を立て、それが点 $P(x,y)$ を通るという条件を $Q$ の $x$ 座標 $t$ に関する方程式とみなす。この $t$ についての方程式が実数解をただ1つ持つ条件を求めればよい。面積計算においては、2曲線の交点を求め、定積分を行う。

解法1

(1)

$C: y = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}$ より、$y' = 3x$ である。 $C$ 上の点 $Q\left(t, \frac{3}{2}t^2 - \frac{1}{3}\right)$ における接線の傾きは $3t$ となる。

$t = 0$ のとき、接線の傾きは $0$ となり、法線は $y$ 軸（直線 $x = 0$）である。 $t \neq 0$ のとき、接線の傾きは $0$ ではないため、法線の傾きは $-\frac{1}{3t}$ となる。したがって、法線の方程式は

$$ y - \left(\frac{3}{2}t^2 - \frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3t}(x - t) $$

整理すると

$$ y = -\frac{x}{3t} + \frac{3}{2}t^2 $$

この式は両辺に $3t$ を掛けることで、次のように書ける。

$$ 3ty = -x + \frac{9}{2}t^3 \iff 9t^3 - 6yt - 2x = 0 $$

この方程式は $t = 0$ を代入すると $x = 0$ となり、$t = 0$ のときの法線 $x = 0$ も表現できている。また、法線の傾き $-\frac{1}{3t}$ （または $x=0$）は $t$ の値に対して1対1に定まるため、点 $P(x, y)$ を通る法線が1本だけ引ける条件は、$t$ の3次方程式

$$ 9t^3 - 6yt - 2x = 0 \quad \cdots (*) $$

が実数解をただ1つ持つことと同値である。 $f(t) = 9t^3 - 6yt - 2x$ とおくと、

$$ f'(t) = 27t^2 - 6y = 3(9t^2 - 2y) $$

(i)

$y \le 0$ のとき

$f'(t) \ge 0$ となり、$f(t)$ は単調に増加する。よって $f(t) = 0$ は常にただ1つの実数解を持つ。（なお $x=0, y=0$ のときは $t=0$ の3重解となるが、解は1つであるため条件を満たす）

(ii)

$y > 0$ のとき

$f'(t) = 0$ を満たす $t$ は $t = \pm\frac{\sqrt{2y}}{3}$ である。 $f(t) = 0$ がただ1つの実数解を持つ条件は、極大値と極小値の積が正となることである。 $\alpha = \frac{\sqrt{2y}}{3}$ とおくと、極値は $f(\alpha)$ と $f(-\alpha)$ である。

$$ f(\alpha) = 9\alpha^3 - 6y\alpha - 2x = \alpha(9\alpha^2 - 6y) - 2x = \alpha(2y - 6y) - 2x = -4y\alpha - 2x $$

$$ f(-\alpha) = 4y\alpha - 2x $$

したがって

$$ \begin{aligned} f(\alpha)f(-\alpha) &= (-2x - 4y\alpha)(-2x + 4y\alpha) \\ &= 4x^2 - 16y^2\alpha^2 \\ &= 4x^2 - 16y^2 \cdot \frac{2y}{9} \\ &= 4x^2 - \frac{32}{9}y^3 \end{aligned} $$

これが正となる条件は

$$ 4x^2 - \frac{32}{9}y^3 > 0 \iff x^2 > \frac{8}{9}y^3 $$

（i）と（ii）より、求める条件は「$y \le 0$ または ($y > 0$ かつ $x^2 > \frac{8}{9}y^3$)」となる。 $y \le 0$ のとき、$(x, y) \neq (0,0)$ ならば $x^2 > 0 \ge \frac{8}{9}y^3$ より $x^2 > \frac{8}{9}y^3$ を常に満たす。 $(x, y) = (0, 0)$ のときは $x^2 = \frac{8}{9}y^3$ となるが、条件を満たす。よって、領域は $x^2 > \frac{8}{9}y^3$ および原点 $(0,0)$ である。

(2)

領域の境界線 $x^2 = \frac{8}{9}y^3$ と放物線 $y = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}$ の交点を求める。放物線の式より $x^2 = \frac{2}{3}\left(y + \frac{1}{3}\right)$ であるから、これを境界線の式に代入する。

$$ \frac{2}{3}\left(y + \frac{1}{3}\right) = \frac{8}{9}y^3 $$

$$ y + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}y^3 $$

$$ 4y^3 - 3y - 1 = 0 $$

$$ (y - 1)(4y^2 + 4y + 1) = 0 $$

$$ (y - 1)(2y + 1)^2 = 0 $$

よって $y = 1, -\frac{1}{2}$ である。 $y = -\frac{1}{2}$ のとき、$x^2 = \frac{8}{9}\left(-\frac{1}{8}\right) = -\frac{1}{9} < 0$ となり実数 $x$ は存在しない。 $y = 1$ のとき、$x^2 = \frac{8}{9}$ より $x = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$ となる。交点は $\left(\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}, 1\right)$ である。

求める面積 $S$ は、$y$ 軸に関して対称であるから、$x \ge 0$ の部分の面積を求めて2倍すればよい。区間 $0 \le x \le \frac{2\sqrt{2}}{3}$ において、上の曲線は $y = \frac{\sqrt[3]{9}}{2}x^{2/3}$、下の曲線は $y = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}$ である。

$$ \begin{aligned} S &= 2 \int_{0}^{\frac{2\sqrt{2}}{3}} \left\{ \frac{3^{2/3}}{2}x^{2/3} - \left(\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}\right) \right\} dx \\ &= 2 \left[ \frac{3^{2/3}}{2} \cdot \frac{3}{5}x^{5/3} - \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{3}x \right]_{0}^{\frac{2\sqrt{2}}{3}} \end{aligned} $$

ここで、$x = \frac{2^{3/2}}{3}$ のとき、

$$ x^{5/3} = \frac{2^{5/2}}{3^{5/3}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \cdot 3^{2/3}}, \quad x^3 = \frac{16\sqrt{2}}{27} $$

であるから、これを代入する。

$$ \begin{aligned} S &= 2 \left( \frac{3^{2/3}}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{3 \cdot 3^{2/3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{16\sqrt{2}}{27} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) \\ &= 2 \left( \frac{2\sqrt{2}}{5} - \frac{8\sqrt{2}}{27} + \frac{6\sqrt{2}}{27} \right) \\ &= 2 \left( \frac{2\sqrt{2}}{5} - \frac{2\sqrt{2}}{27} \right) \\ &= 2 \left( \frac{54\sqrt{2} - 10\sqrt{2}}{135} \right) \\ &= \frac{88\sqrt{2}}{135} \end{aligned} $$

解法2

（2）の面積計算において、$y$ について積分を行う別解。

求める面積 $S$ は $y$ 軸に関して対称である。放物線の式は $x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}\left(y + \frac{1}{3}\right)}$、領域の境界線は $x = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}y^{3/2}$ （$y \ge 0$）と表せる。 $x \ge 0$ の部分について、$y$ 軸方向で積分を行うと、右側の境界は常に放物線であり、左側の境界は $y < 0$ のときは $y$ 軸（$x = 0$）、$y \ge 0$ のときは境界線 $x = \frac{2\sqrt{2}}{3}y^{3/2}$ である。したがって、

$$ \begin{aligned} S &= 2 \left\{ \int_{-\frac{1}{3}}^{1} \sqrt{\frac{2}{3}\left(y + \frac{1}{3}\right)} \,dy - \int_{0}^{1} \frac{2\sqrt{2}}{3}y^{3/2} \,dy \right\} \\ &= 2 \left[ \frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} \left(y + \frac{1}{3}\right)^{3/2} \right]_{-\frac{1}{3}}^{1} - 2 \left[ \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2}{5} y^{5/2} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3}} \left(\frac{4}{3}\right)^{3/2} - \frac{8\sqrt{2}}{15} \\ &= \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}} - \frac{8\sqrt{2}}{15} \\ &= \frac{32\sqrt{2}}{27} - \frac{8\sqrt{2}}{15} \\ &= \frac{160\sqrt{2} - 72\sqrt{2}}{135} \\ &= \frac{88\sqrt{2}}{135} \end{aligned} $$

解説

(1) は「法線の通過領域」に関する典型問題である。法線の方程式を接点の $x$ 座標 $t$ を用いて表し、$P(x,y)$ を代入した方程式が実数解を1つだけ持つ条件を導くのが定石である。$x=0$ における場合分けや、極大値と極小値の積の符号を調べる処理が求められる。 (2) は(1)で求めた領域を利用した面積計算である。$x$ について積分する場合は $x^{2/3}$ などの累乗根の扱いに注意が必要である。解法2のように $y$ について積分すると、境界の上下関係がシンプルになり計算ミスを防ぎやすくなるため有効である。