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東京大学 1978年理系第5問解説

方針・初手

線分 $BC$ を $n$ 等分する点 $P_k$ に対する $AP_k^2$ の和の極限を求める問題である。式が $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n AP_k^2$ の形になることから、区分求積法を用いて定積分に帰着させる方針をとる。$AP_k^2$ を $\frac{k}{n}$ の式として表すために、ベクトルを利用する方法と、座標平面上に図形を配置する方法が考えられる。

解法1

$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$ とおく。条件より、$|\vec{b}| = c$、$|\vec{c}| = b$、$|\vec{c} - \vec{b}| = |\vec{BC}| = a$ である。

$|\vec{c} - \vec{b}|^2 = a^2$ を展開すると、

$$ |\vec{c}|^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{b}|^2 = a^2 $$

となるため、内積 $\vec{b}\cdot\vec{c}$ は次のように表される。

$$ \vec{b}\cdot\vec{c} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} $$

点 $P_k$ は線分 $BC$ を $k : (n-k)$ に内分する点である（$k=n$ のときは点 $C$ に一致する）。したがって、位置ベクトル $\vec{AP_k}$ は次のように表される。

$$ \vec{AP_k} = \frac{(n-k)\vec{b} + k\vec{c}}{n} = \left(1 - \frac{k}{n}\right)\vec{b} + \frac{k}{n}\vec{c} $$

これより、$AP_k^2 = |\vec{AP_k}|^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} AP_k^2 &= \left| \left(1 - \frac{k}{n}\right)\vec{b} + \frac{k}{n}\vec{c} \right|^2 \\ &= \left(1 - \frac{k}{n}\right)^2 |\vec{b}|^2 + 2\left(1 - \frac{k}{n}\right)\frac{k}{n} \vec{b}\cdot\vec{c} + \left(\frac{k}{n}\right)^2 |\vec{c}|^2 \\ &= c^2 \left(1 - \frac{k}{n}\right)^2 + (b^2 + c^2 - a^2) \left(1 - \frac{k}{n}\right)\frac{k}{n} + b^2 \left(\frac{k}{n}\right)^2 \end{aligned} $$

求める極限は $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n AP_k^2$ であるから、区分求積法により $\frac{k}{n} = x$ として定積分に書き換えることができる。

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n AP_k^2 &= \int_0^1 \left\{ c^2 (1-x)^2 + (b^2 + c^2 - a^2) (1-x)x + b^2 x^2 \right\} dx \\ &= \int_0^1 \left\{ c^2 (1 - 2x + x^2) + (b^2 + c^2 - a^2) (x - x^2) + b^2 x^2 \right\} dx \\ &= \int_0^1 \left\{ (c^2 - (b^2 + c^2 - a^2) + b^2) x^2 + (-2c^2 + b^2 + c^2 - a^2) x + c^2 \right\} dx \\ &= \int_0^1 \left\{ a^2 x^2 + (b^2 - c^2 - a^2) x + c^2 \right\} dx \end{aligned} $$

この定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \left\{ a^2 x^2 + (b^2 - c^2 - a^2) x + c^2 \right\} dx &= \left[ \frac{a^2}{3} x^3 + \frac{b^2 - c^2 - a^2}{2} x^2 + c^2 x \right]_0^1 \\ &= \frac{a^2}{3} + \frac{b^2 - c^2 - a^2}{2} + c^2 \\ &= \frac{2a^2 + 3(b^2 - c^2 - a^2) + 6c^2}{6} \\ &= \frac{-a^2 + 3b^2 + 3c^2}{6} \end{aligned} $$

解法2

点 $B$ を原点 $(0, 0)$ とし、直線 $BC$ を $x$ 軸とする座標平面を設定する。 $BC = a$ より、点 $C$ の座標は $(a, 0)$ となる。点 $A$ の座標を $(s, t)$ とおく。

三角形の辺の長さの条件 $AB = c$、$AC = b$ より、以下の式が成り立つ。

$$ \begin{cases} s^2 + t^2 = c^2 \\ (s - a)^2 + t^2 = b^2 \end{cases} $$

第2式を展開し、第1式を代入して $s$ について解く。

$$ \begin{aligned} s^2 - 2as + a^2 + t^2 &= b^2 \\ (s^2 + t^2) - 2as + a^2 &= b^2 \\ c^2 - 2as + a^2 &= b^2 \\ 2as &= a^2 + c^2 - b^2 \end{aligned} $$

点 $P_k$ は線分 $BC$ を $k : (n-k)$ に内分する点であるから、その座標は $\left( \frac{ka}{n}, 0 \right)$ と表される。よって、線分 $AP_k$ の長さの2乗は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} AP_k^2 &= \left( \frac{ka}{n} - s \right)^2 + t^2 \\ &= \left( \frac{ka}{n} \right)^2 - 2s \frac{ka}{n} + s^2 + t^2 \\ &= a^2 \left( \frac{k}{n} \right)^2 - 2as \left( \frac{k}{n} \right) + c^2 \end{aligned} $$

ここで、$2as = a^2 + c^2 - b^2$ を代入する。

$$ AP_k^2 = a^2 \left( \frac{k}{n} \right)^2 - (a^2 + c^2 - b^2) \left( \frac{k}{n} \right) + c^2 $$

求める極限は、区分求積法を用いて次のように定積分で表される。

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n AP_k^2 &= \int_0^1 \left\{ a^2 x^2 - (a^2 + c^2 - b^2) x + c^2 \right\} dx \\ &= \left[ \frac{a^2}{3} x^3 - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} x^2 + c^2 x \right]_0^1 \\ &= \frac{a^2}{3} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} + c^2 \\ &= \frac{2a^2 - 3(a^2 + c^2 - b^2) + 6c^2}{6} \\ &= \frac{-a^2 + 3b^2 + 3c^2}{6} \end{aligned} $$

解説

極限の式に $\frac{1}{n}$ と和の記号が現れることから、区分求積法を連想することが基本となる。本問では、$AP_k^2$ を $\frac{k}{n}$ の関数として立式できるかがポイントである。図形量の立式にあたっては、ベクトルを用いる方法（解法1）と座標を設定する方法（解法2）のどちらも標準的であり、計算量にも大きな差はない。ベクトルを用いる場合は内積の処理に余弦定理（あるいはベクトルの大きさの展開）を用い、座標を用いる場合は三平方の定理から変数を消去するのが定石である。