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東京工業大学 1987年理系第2問解説

方針・初手

行列で表された連立漸化式の問題である。(1)の誘導に従い、2つの等比数列を見出する。(2)では、(1)の結果から $x_n$ と $y_n$ の一般項を求め、極限を計算する。指数関数の極限では底の絶対値が最大の項でくくり出すのが定石であるが、その係数が $0$ になる場合とならない場合で極限値が変わるため、場合分けが必要になる。

解法1

(1) 与えられた行列の漸化式より、以下の連立漸化式が得られる。

$$ \begin{cases} x_n = \frac{3}{2}x_{n-1} + y_{n-1} \\ y_n = \frac{1}{2}x_{n-1} + y_{n-1} \end{cases} $$

これらを用いて $x_n + y_n$ を計算する。

$$ \begin{aligned} x_n + y_n &= \left( \frac{3}{2}x_{n-1} + y_{n-1} \right) + \left( \frac{1}{2}x_{n-1} + y_{n-1} \right) \\ &= 2x_{n-1} + 2y_{n-1} \\ &= 2(x_{n-1} + y_{n-1}) \end{aligned} $$

よって、数列 $\{x_n + y_n\}$ は初項 $x_0 + y_0$、公比 $2$ の等比数列であるから、

$$ x_n + y_n = 2^n (x_0 + y_0) $$

また、$x_n - 2y_n$ を計算する。

$$ \begin{aligned} x_n - 2y_n &= \left( \frac{3}{2}x_{n-1} + y_{n-1} \right) - 2\left( \frac{1}{2}x_{n-1} + y_{n-1} \right) \\ &= \frac{1}{2}x_{n-1} - y_{n-1} \\ &= \frac{1}{2}(x_{n-1} - 2y_{n-1}) \end{aligned} $$

よって、数列 $\{x_n - 2y_n\}$ は初項 $x_0 - 2y_0$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であるから、

$$ x_n - 2y_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n (x_0 - 2y_0) $$

(2) (1) の結果から、以下の連立方程式が得られる。

$$ \begin{cases} x_n + y_n = 2^n (x_0 + y_0) & \cdots \text{①} \\ x_n - 2y_n = 2^{-n} (x_0 - 2y_0) & \cdots \text{②} \end{cases} $$

①$\times 2$ + ② より、

$$ 3x_n = 2 \cdot 2^n (x_0 + y_0) + 2^{-n} (x_0 - 2y_0) $$

$$ x_n = \frac{2^{n+1} (x_0 + y_0) + 2^{-n} (x_0 - 2y_0)}{3} $$

① - ② より、

$$ 3y_n = 2^n (x_0 + y_0) - 2^{-n} (x_0 - 2y_0) $$

$$ y_n = \frac{2^n (x_0 + y_0) - 2^{-n} (x_0 - 2y_0)}{3} $$

ここで、求める極限は分母分子を $x_n^2$ で割ることで次のように変形できる。

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{x_n^2}{x_n^2 + y_n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + \left(\frac{y_n}{x_n}\right)^2} $$

したがって、$\frac{y_n}{x_n}$ の極限を考えればよい。

$$ \frac{y_n}{x_n} = \frac{2^n (x_0 + y_0) - 2^{-n} (x_0 - 2y_0)}{2^{n+1} (x_0 + y_0) + 2^{-n} (x_0 - 2y_0)} $$

極限を計算するにあたり、$n \to \infty$ で発散する $2^n$ と $2^{n+1}$ の係数である $x_0 + y_0$ が $0$ かどうかで場合分けを行う。

(i)

$x_0 + y_0 \neq 0$ のとき分母・分子を $2^n$ で割ると、

$$ \frac{y_n}{x_n} = \frac{(x_0 + y_0) - 2^{-2n} (x_0 - 2y_0)}{2(x_0 + y_0) + 2^{-2n} (x_0 - 2y_0)} $$

$n \to \infty$ のとき $2^{-2n} \to 0$ であり、分母の極限値は $2(x_0 + y_0) \neq 0$ であるから、

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{y_n}{x_n} = \frac{x_0 + y_0}{2(x_0 + y_0)} = \frac{1}{2} $$

十分大きな $n$ において $x_n \neq 0$ となり、求める極限は、

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{x_n^2}{x_n^2 + y_n^2} = \frac{1}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5} $$

(ii)

$x_0 + y_0 = 0$ のとき $y_0 = -x_0$ である。問題の条件 $(x_0, y_0) \neq (0, 0)$ より、$x_0 \neq 0$ である。したがって、$x_0 - 2y_0 = x_0 - 2(-x_0) = 3x_0 \neq 0$ である。このとき、一般項の式は以下のようになる。

$$ x_n = \frac{1}{3} \cdot 2^{-n} (x_0 - 2y_0) $$

$$ y_n = \frac{1}{3} \cdot \left\{ -2^{-n} (x_0 - 2y_0) \right\} = -x_n $$

$x_0 - 2y_0 \neq 0$ より $x_n \neq 0$ であり、すべての自然数 $n$ に対して $\frac{y_n}{x_n} = -1$ となる。したがって、

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{x_n^2}{x_n^2 + y_n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + (-1)^2} = \frac{1}{2} $$

解説

行列を用いた連立漸化式の典型問題である。(1)の誘導は行列の固有値・固有ベクトルを求める過程と本質的に同じであり、対角化を用いて行列の $n$ 乗を計算する手法を誘導付きで出題している。 (2)の極限計算では、指数関数が含まれる分数の極限となるため、最も発散のスピードが速い項（本問では $2^n$）で分母分子を割るのが定石となる。ただし、その係数である $x_0 + y_0$ が $0$ になる場合は最高次数の項が消滅し、支配的な項が変わるため場合分けが必須である。この条件漏れを防ぐことが本問の最大のポイントとなる。