東京大学 2000年 理系 第6問 解説

方針・初手

（1）は、与えられた行列の積を左辺と右辺でそれぞれ計算し、各成分を比較して連立方程式を解く。 （2）は、（1）で得られた $x, y, z$ の関係式から、空間内の点 $(x, y, z)$ の動く領域を考える。平面 $y=t$ で切断するため、$y=t$ と固定したときの $x, z$ の関係式を導き、$xz$ 平面上の領域の面積を計算する。その際、独立変数 $a, b, c$ の動く範囲に注意する。 （3）は、（2）で求めた断面積を $t$ のとりうる範囲で定積分して体積を求める。

解法1

(1)

与式の左辺の行列の積を計算する。

$$ \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & c & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a & ab \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & c & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a+c & ab \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

右辺の行列の積を計算する。

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & y & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & y & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & y & yz \\ 0 & 1 & x+z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

両辺の行列が等しいから、対応する成分を比較して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} y = a+c \\ x+z = b \\ yz = ab \end{cases} $$

$a, c$ は正の実数であるから $y = a+c > 0$ である。第3式より $z = \frac{ab}{y} = \frac{ab}{a+c}$ となる。 これを第2式に代入して、

$$ x = b - z = b - \frac{ab}{a+c} = \frac{bc}{a+c} $$

よって、求める $x, y, z$ は

$$ x = \frac{bc}{a+c}, \quad y = a+c, \quad z = \frac{ab}{a+c} $$

(2)

立体 $K$ を平面 $y=t$ で切断する。$y = a+c = t$ であり、$1 \leqq a \leqq 2$ かつ $1 \leqq c \leqq 2$ であるから、$t$ のとりうる範囲は $2 \leqq t \leqq 4$ である。 $c = t-a$ であり、$1 \leqq t-a \leqq 2$ より $t-2 \leqq a \leqq t-1$ となる。 したがって、$a$ のとりうる範囲は $\max(1, t-2) \leqq a \leqq \min(2, t-1)$ である。 ここで、$a_1 = \max(1, t-2), a_2 = \min(2, t-1)$ とおく。

$x, z$ の関係について調べる。

$$ x+z = b $$

$$ \frac{z}{x} = \frac{a}{c} = \frac{a}{t-a} $$

$b$ は $a, c$ と独立に $1 \leqq b \leqq 2$ を動く。 関数 $k(a) = \frac{a}{t-a} = \frac{t}{t-a} - 1$ は $a$ について単調増加であるから、$k_1 = \frac{a_1}{t-a_1}, k_2 = \frac{a_2}{t-a_2}$ とおくと、$a_1 \leqq a \leqq a_2$ のとき $k_1 \leqq \frac{z}{x} \leqq k_2$ となる。 これより、$y=t$ 平面における切り口の領域は、$xz$ 平面において

$$ 1 \leqq x+z \leqq 2, \quad k_1 x \leqq z \leqq k_2 x, \quad x > 0 $$

を満たす領域となる。これは、2直線 $x+z=1$ と $x+z=2$、および原点を通る2直線 $z=k_1 x$ と $z=k_2 x$ で囲まれた台形である。 この台形の面積 $S(t)$ を求める。 原点と直線 $x+z=1$、$z=k_1 x$、$z=k_2 x$ で囲まれる三角形の面積を $S_1$ とすると、直線 $x+z=1$ と $z=kx$ の交点が $\left( \frac{1}{1+k}, \frac{k}{1+k} \right)$ であることから、

$$ S_1 = \frac{1}{2} \left| \frac{1}{1+k_1} \cdot \frac{k_2}{1+k_2} - \frac{1}{1+k_2} \cdot \frac{k_1}{1+k_1} \right| = \frac{1}{2} \frac{k_2 - k_1}{(1+k_1)(1+k_2)} $$

台形は、相似比 $2:1$ の2つの三角形の差分であるため、その面積 $S(t)$ は $2^2 S_1 - 1^2 S_1 = 3S_1$ となる。

$$ S(t) = \frac{3}{2} \frac{k_2 - k_1}{(1+k_1)(1+k_2)} $$

ここで、$1+k_i = 1 + \frac{a_i}{t-a_i} = \frac{t}{t-a_i}$ であるから、

$$ \frac{k_2 - k_1}{(1+k_1)(1+k_2)} = \frac{ \frac{a_2}{t-a_2} - \frac{a_1}{t-a_1} }{ \frac{t^2}{(t-a_1)(t-a_2)} } = \frac{a_2(t-a_1) - a_1(t-a_2)}{t^2} = \frac{(a_2-a_1)t}{t^2} = \frac{a_2-a_1}{t} $$

したがって、

$$ S(t) = \frac{3(a_2 - a_1)}{2t} $$

$t$ の範囲によって $a_1, a_2$ の値が異なるため、場合分けを行う。

(i)

$2 \leqq t \leqq 3$ のとき $a_1 = \max(1, t-2) = 1$、$a_2 = \min(2, t-1) = t-1$ より、$a_2 - a_1 = t-2$。

$$ S(t) = \frac{3(t-2)}{2t} = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{2}{t} \right) $$

(ii)

$3 \leqq t \leqq 4$ のとき $a_1 = \max(1, t-2) = t-2$、$a_2 = \min(2, t-1) = 2$ より、$a_2 - a_1 = 4-t$。

$$ S(t) = \frac{3(4-t)}{2t} = \frac{3}{2} \left( \frac{4}{t} - 1 \right) $$

(3)

立体 $K$ の体積 $V$ は、断面積 $S(t)$ を $2 \leqq t \leqq 4$ の範囲で積分して求められる。

$$ V = \int_{2}^{4} S(t) dt = \int_{2}^{3} \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{2}{t} \right) dt + \int_{3}^{4} \frac{3}{2} \left( \frac{4}{t} - 1 \right) dt $$

各積分を計算する。

$$ \int_{2}^{3} \left( 1 - \frac{2}{t} \right) dt = \left[ t - 2 \log t \right]_{2}^{3} = (3 - 2 \log 3) - (2 - 2 \log 2) = 1 - 2 \log 3 + 2 \log 2 $$

$$ \int_{3}^{4} \left( \frac{4}{t} - 1 \right) dt = \left[ 4 \log t - t \right]_{3}^{4} = (4 \log 4 - 4) - (4 \log 3 - 3) = 8 \log 2 - 4 \log 3 - 1 $$

これらを足し合わせて $\frac{3}{2}$ 倍する。

$$ V = \frac{3}{2} \{ (1 - 2 \log 3 + 2 \log 2) + (8 \log 2 - 4 \log 3 - 1) \} = \frac{3}{2} (10 \log 2 - 6 \log 3) = 15 \log 2 - 9 \log 3 $$

解説

複数の独立変数が動くときの軌跡や通過領域の体積を求める問題である。（1）で得られた式から「何を固定し、何を動かすか」を見極めることが重要となる。 本問では、体積を求めるために $y=t$ と固定して切り口の面積を求めるのが自然な発想である。$x+z = b$ と $\frac{z}{x} = \frac{a}{c}$ という関係式を見抜くことで、切り口の形状が直線 $x+z = \text{定数}$ と原点を通る直線 $z = kx$ で囲まれた領域になることが分かり、面積計算が容易になる。変数変換を用いた重積分として捉えることもできるが、幾何学的な図形の面積として処理した方が直感的でミスが少ない。

答え

(1)

$x = \frac{bc}{a+c}, \quad y = a+c, \quad z = \frac{ab}{a+c}$

(2)

切り口の面積を $S(t)$ とすると、 $2 \leqq t \leqq 3$ のとき $S(t) = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{2}{t} \right)$ $3 \leqq t \leqq 4$ のとき $S(t) = \frac{3}{2} \left( \frac{4}{t} - 1 \right)$

(3)

体積は $15 \log 2 - 9 \log 3$