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東京大学 2002年理系第5問解説

方針・初手

点 $Q_k$ の座標を求め、底面を $xy$ 平面上の $\triangle O P_k P_{k+1}$ としたときの三角錐の体積 $V_k$ を $k$ と $n$ の式で表す。得られた $V_k$ の和の極限を、区分求積法を用いて定積分に帰着させて計算する。

解法1

点 $Q_k$ は $z$ 軸上で $z \ge 0$ の部分にあるため、その座標を $(0, 0, z_k)$ （$z_k \ge 0$）とおく。

点 $P_k$ の座標は $\left( \frac{k}{n}, 1 - \frac{k}{n}, 0 \right)$ であり、$P_k Q_k = 1$ であるから、

$$ P_k Q_k^2 = \left( 0 - \frac{k}{n} \right)^2 + \left( 0 - \left( 1 - \frac{k}{n} \right) \right)^2 + (z_k - 0)^2 = 1 $$

これを $z_k$ について解く。

$$ \frac{k^2}{n^2} + 1 - \frac{2k}{n} + \frac{k^2}{n^2} + z_k^2 = 1 $$

$$ z_k^2 = \frac{2k}{n} - 2\left( \frac{k}{n} \right)^2 $$

$z_k \ge 0$ であるから、

$$ z_k = \sqrt{ \frac{2k}{n} - 2\left( \frac{k}{n} \right)^2 } $$

次に、三角錐 $O P_k P_{k+1} Q_k$ の体積を求める。底面を $xy$ 平面上の $\triangle O P_k P_{k+1}$ とすると、高さは $Q_k$ の $z$ 座標 $z_k$ となる。

$\triangle O P_k P_{k+1}$ の面積 $S_k$ は、平面上の三角形の面積公式より、

$$ S_k = \frac{1}{2} \left| \frac{k}{n} \left( 1 - \frac{k+1}{n} \right) - \frac{k+1}{n} \left( 1 - \frac{k}{n} \right) \right| $$

$$ S_k = \frac{1}{2} \left| \frac{k}{n} - \frac{k(k+1)}{n^2} - \frac{k+1}{n} + \frac{k(k+1)}{n^2} \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{1}{n} \right| = \frac{1}{2n} $$

したがって、三角錐の体積 $V_k$ は、

$$ V_k = \frac{1}{3} S_k z_k = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2n} \cdot \sqrt{ \frac{2k}{n} - 2\left( \frac{k}{n} \right)^2 } = \frac{\sqrt{2}}{6n} \sqrt{ \frac{k}{n} - \left( \frac{k}{n} \right)^2 } $$

求める極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} V_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\sqrt{2}}{6n} \sqrt{ \frac{k}{n} - \left( \frac{k}{n} \right)^2 } $$

$$ = \frac{\sqrt{2}}{6} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{ \frac{k}{n} - \left( \frac{k}{n} \right)^2 } $$

区分求積法を用いると、この極限は定積分で表される。

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{ \frac{k}{n} - \left( \frac{k}{n} \right)^2 } = \int_0^1 \sqrt{x - x^2} dx $$

ここで、被積分関数を $y = \sqrt{x - x^2}$ （$0 \le x \le 1$）とおき、両辺を2乗して整理する。

$$ y^2 = x - x^2 $$

$$ \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{4} $$

$y \ge 0$ より、これは中心 $\left( \frac{1}{2}, 0 \right)$、半径 $\frac{1}{2}$ の半円を表す。したがって、求める定積分の値はこの半円の面積に等しく、

$$ \int_0^1 \sqrt{x - x^2} dx = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{\pi}{8} $$

以上より、求める極限値は、

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} V_k = \frac{\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}\pi}{48} $$

解説

空間図形の体積立式から極限の計算へと進む、典型的な区分求積法の問題である。三角錐の体積を求める際、どの面を底面と捉えるかが計算量に大きく影響する。本問では $O, P_k, P_{k+1}$ がすべて $xy$ 平面上にあることに着目し、$\triangle O P_k P_{k+1}$ を底面とすることで $Q_k$ の $z$ 座標がそのまま高さとして利用できる。極限の計算においては、和の形から区分求積法を用いて定積分に変換する。現れた積分 $\int_0^1 \sqrt{x - x^2} dx$ は、被積分関数が円の方程式の一部であることに気づけば、置換積分を行わずとも図形的に面積として処理できる。