東京大学 2007年 理系 第3問 解説

方針・初手

点 $P, Q$ の座標を変数でおき、内分点 $R$ の座標をそれらの変数を用いて表す。点 $R$ が $(a, b)$ であるという条件から変数間の関係式を導き、$P, Q$ の $x$ 座標が $-1$ 以上 $1$ 以下の範囲に存在するような $b$ の条件を、固定された $a$ について求める。いわゆる順像法（存在条件）を用いて処理していく。

解法1

(1)

曲線 $y = x^2 \ (-1 \leqq x \leqq 1)$ 上の2点 $P, Q$ の座標をそれぞれ $(p, p^2), (q, q^2)$ とおく。 ここで、$p, q$ は以下の条件をみたす。

$$ -1 \leqq p \leqq 1, \quad -1 \leqq q \leqq 1 $$

線分 $PQ$ を $1:2$ に内分する点 $R$ の座標を $(X, Y)$ とすると、内分点の公式より、

$$ X = \frac{2p + q}{3}, \quad Y = \frac{2p^2 + q^2}{3} $$

点 $(a, b)$ が領域 $D$ に属する条件は、$X = a$ かつ $Y = b$ をみたす実数 $p, q$ がそれぞれの変域内に存在することである。すなわち、

$$ a = \frac{2p + q}{3} $$

$$ b = \frac{2p^2 + q^2}{3} $$

第1式より $q = 3a - 2p$ となり、これを第2式に代入して $q$ を消去する。

$$ b = \frac{2p^2 + (3a - 2p)^2}{3} = \frac{2p^2 + 9a^2 - 12ap + 4p^2}{3} = 2p^2 - 4ap + 3a^2 $$

これを $p$ についての関数とみて $f(p)$ とおく。平方完成すると以下のようになる。

$$ f(p) = 2(p - a)^2 + a^2 $$

次に、$p$ の動くことができる範囲（定義域）を求める。$q = 3a - 2p$ と $-1 \leqq q \leqq 1$ より、

$$ -1 \leqq 3a - 2p \leqq 1 $$

$$ \frac{3a - 1}{2} \leqq p \leqq \frac{3a + 1}{2} $$

これと元々の条件 $-1 \leqq p \leqq 1$ を同時にみたす $p$ が存在することが条件である。$a$ は $-1 \leqq a \leqq 1$ の範囲にあるため、常に $\frac{3a - 1}{2} \leqq 1$ および $-1 \leqq \frac{3a + 1}{2}$ は成立している。 したがって、$p$ のとりうる範囲は次のように表される。

$$ \max \left( -1, \frac{3a - 1}{2} \right) \leqq p \leqq \min \left( 1, \frac{3a + 1}{2} \right) $$

この区間における $f(p)$ の最大値と最小値を $a$ の値で場合分けして調べる。関数 $f(p)$ は下に凸な放物線であり、軸は $p = a$ である。

(i)

$\frac{3a - 1}{2} < -1$ すなわち $-1 \leqq a < -\frac{1}{3}$ のとき

$p$ の区間は $-1 \leqq p \leqq \frac{3a + 1}{2}$ となる。 軸 $p = a$ と区間の位置関係を調べる。$a < -\frac{1}{3}$ であり、$\frac{3a + 1}{2} - a = \frac{a + 1}{2} > 0$（$-1 \leqq a$ より）であるため、軸 $p = a$ は区間内に含まれる。 したがって、最小値は頂点の値 $f(a) = a^2$ である。 最大値は区間の端点 $p = -1$ または $p = \frac{3a + 1}{2}$ のうち、軸 $p = a$ から遠い方をとる。 軸からの距離はそれぞれ $|-1 - a| = a + 1$、$\left| \frac{3a + 1}{2} - a \right| = \frac{a + 1}{2}$ であり、$a + 1 > \frac{a + 1}{2}$ であるから、端点 $p = -1$ の方が軸から遠い。 よって最大値は $f(-1) = 2(-1 - a)^2 + a^2 = 3a^2 + 4a + 2$ である。 ゆえに、このときの $b$ の条件は $a^2 \leqq b \leqq 3a^2 + 4a + 2$ となる。

(ii)

$-1 \leqq \frac{3a - 1}{2}$ かつ $a < 0$ すなわち $-\frac{1}{3} \leqq a < 0$ のとき

$p$ の区間は $\frac{3a - 1}{2} \leqq p \leqq \frac{3a + 1}{2}$ となる。 区間の両端から軸 $p = a$ までの距離は、それぞれ $\left| \frac{3a - 1}{2} - a \right| = \frac{1 - a}{2}$、$\left| \frac{3a + 1}{2} - a \right| = \frac{a + 1}{2}$ である。 これらは共に正であり、区間の中に軸 $p = a$ は含まれている。したがって最小値は $f(a) = a^2$ である。 最大値について、$a < 0$ より $\frac{1 - a}{2} > \frac{a + 1}{2}$ となるため、端点 $p = \frac{3a - 1}{2}$ の方が軸から遠い。 よって最大値は $f\left(\frac{3a - 1}{2}\right) = 2\left(\frac{a - 1}{2}\right)^2 + a^2 = \frac{3}{2}a^2 - a + \frac{1}{2}$ である。 ゆえに、このときの $b$ の条件は $a^2 \leqq b \leqq \frac{3}{2}a^2 - a + \frac{1}{2}$ となる。

(iii)

$a \geqq 0$ かつ $\frac{3a + 1}{2} \leqq 1$ すなわち $0 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$ のとき

$p$ の区間は $\frac{3a - 1}{2} \leqq p \leqq \frac{3a + 1}{2}$ となる。 （ii）と同様に軸は区間に含まれるため、最小値は $f(a) = a^2$ である。 最大値について、$a \geqq 0$ より $\frac{1 - a}{2} \leqq \frac{a + 1}{2}$ となるため、端点 $p = \frac{3a + 1}{2}$ の方が軸から遠い。 よって最大値は $f\left(\frac{3a + 1}{2}\right) = 2\left(\frac{a + 1}{2}\right)^2 + a^2 = \frac{3}{2}a^2 + a + \frac{1}{2}$ である。 ゆえに、このときの $b$ の条件は $a^2 \leqq b \leqq \frac{3}{2}a^2 + a + \frac{1}{2}$ となる。

(iv)

$\frac{3a + 1}{2} > 1$ すなわち $\frac{1}{3} < a \leqq 1$ のとき

$p$ の区間は $\frac{3a - 1}{2} \leqq p \leqq 1$ となる。 軸 $p = a$ と区間の位置関係を調べる。$a - \frac{3a - 1}{2} = \frac{1 - a}{2} \geqq 0$（$a \leqq 1$ より）であるため、軸 $p = a$ は区間内に含まれる。 したがって最小値は $f(a) = a^2$ である。 最大値は区間の端点 $p = \frac{3a - 1}{2}$ または $p = 1$ のうち、軸から遠い方をとる。 軸からの距離はそれぞれ $\left| \frac{3a - 1}{2} - a \right| = \frac{1 - a}{2}$、$|1 - a| = 1 - a$ であり、$1 - a > \frac{1 - a}{2}$ であるから、端点 $p = 1$ の方が軸から遠い。 よって最大値は $f(1) = 2(1 - a)^2 + a^2 = 3a^2 - 4a + 2$ である。 ゆえに、このときの $b$ の条件は $a^2 \leqq b \leqq 3a^2 - 4a + 2$ となる。

(2)

（1）で求めた条件を $ab$ 平面上で図示すればよい（ここでは $x, y$ に置き換えて説明する）。 領域 $D$ の下端の境界線は常に $y = x^2$ である。 上端の境界線は区間ごとに以下のようになる。

• $-1 \leqq x < -\frac{1}{3}$ のとき：$y = 3x^2 + 4x + 2 = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{2}{3}$
• $-\frac{1}{3} \leqq x < 0$ のとき：$y = \frac{3}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3}$
• $0 \leqq x \leqq \frac{1}{3}$ のとき：$y = \frac{3}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3}$
• $\frac{1}{3} < x \leqq 1$ のとき：$y = 3x^2 - 4x + 2 = 3\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{2}{3}$

境界が接続する点の座標は、$x = -1$ のとき $(-1, 1)$、$x = -\frac{1}{3}$ のとき $\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$、$x = 0$ のとき $\left(0, \frac{1}{2}\right)$、$x = \frac{1}{3}$ のとき $\left(\frac{1}{3}, 1\right)$、$x = 1$ のとき $(1, 1)$ となり、これらの点で放物線は連続してつながる。全体として $y$ 軸に対称な図形となる。

解説

軌跡・領域問題における「存在条件（順像法）」を用いる典型的な問題である。媒介変数 $p, q$ を用いて内分点の座標を表し、そこから片方の変数を消去して、残った変数の2次関数の最大・最小問題に帰着させる。変数の消去に伴って「消去される変数の変域が、残る変数の変域に制限を与える」ことを見落とさないよう注意が必要である。また、軸と区間の位置関係による場合分けもやや複雑であるが、グラフの対称性を意識すると見通しが良くなる。

答え

(1)

$-1 \leqq a < -\frac{1}{3}$ のとき、$a^2 \leqq b \leqq 3a^2 + 4a + 2$ $-\frac{1}{3} \leqq a < 0$ のとき、$a^2 \leqq b \leqq \frac{3}{2}a^2 - a + \frac{1}{2}$ $0 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$ のとき、$a^2 \leqq b \leqq \frac{3}{2}a^2 + a + \frac{1}{2}$ $\frac{1}{3} < a \leqq 1$ のとき、$a^2 \leqq b \leqq 3a^2 - 4a + 2$

(2)

領域 $D$ は、以下の連立不等式が表す領域である（境界線を全て含む）。

$$ \begin{cases} x^2 \leqq y \leqq 3x^2 + 4x + 2 & \left(-1 \leqq x < -\frac{1}{3}\right) \\ x^2 \leqq y \leqq \frac{3}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} & \left(-\frac{1}{3} \leqq x < 0\right) \\ x^2 \leqq y \leqq \frac{3}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} & \left(0 \leqq x \leqq \frac{1}{3}\right) \\ x^2 \leqq y \leqq 3x^2 - 4x + 2 & \left(\frac{1}{3} < x \leqq 1\right) \end{cases} $$

これを $xy$ 平面上に図示すると、下端が放物線 $y = x^2$、上端が上記4つの放物線をつなぎ合わせた曲線で囲まれた、$y$ 軸対称な図形となる。