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東京大学 2007年理系第4問解説

方針・初手

（1）は、与えられた条件式 $A = aP + (a+1)Q$ を $(P+Q)A$ に代入し、展開してから $P^2=P$, $Q^2=Q$, $PQ=O$, $QP=O$ を適用するだけで示せる。
（2）は、（1）で示した $(P+Q)A = A$ と、与えられた行列 $A$ が正則（逆行列をもつ）であることを利用して $P+Q$ を求める。そこから得られる関係式と $A = aP + (a+1)Q$ を連立して $P, Q$ を決定する。求めた $P, Q$ がすべての条件を満たすことの確認（十分性の確認）を忘れないようにする。
（3）は、（2）で求めた $P, Q$ が $a$ （すなわち $k$）に依存しない一定の行列であることに着目する。$A_k = kP + (k+1)Q$ と表せるので、直交する射影行列の線形結合の積の性質を利用して、積を各項の係数の積として計算する。

解法1

(1)

与えられた条件 $A = aP + (a+1)Q$ を用いて、$(P+Q)A$ を展開する。

$$ \begin{aligned} (P+Q)A &= (P+Q)\{aP + (a+1)Q\} \\ &= aP^2 + (a+1)PQ + aQP + (a+1)Q^2 \end{aligned} $$

ここで、条件 $P^2 = P$、$Q^2 = Q$、$PQ = O$、$QP = O$ を代入する。

$$ \begin{aligned} (P+Q)A &= aP + (a+1)O + aO + (a+1)Q \\ &= aP + (a+1)Q \end{aligned} $$

これは行列 $A$ に等しい。したがって、$(P+Q)A = A$ が成り立つ。

(2)

$a$ は正の数であり、行列 $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a+1 \end{pmatrix}$ の行列式は $|A| = a(a+1) > 0$ である。したがって、$A$ は逆行列 $A^{-1}$ をもつ。

（1）の結果 $(P+Q)A = A$ の両辺の右から $A^{-1}$ を掛けると、

$$ P+Q = E \quad (E \text{ は単位行列}) $$

ゆえに、$Q = E - P$ と表せる。これを与えられた条件 $A = aP + (a+1)Q$ に代入する。

$$ \begin{aligned} A &= aP + (a+1)(E - P) \\ A &= aP + (a+1)E - (a+1)P \\ A &= -P + (a+1)E \end{aligned} $$

これより $P$ について解くと、

$$ P = (a+1)E - A $$

成分を代入して計算する。

$$ \begin{aligned} P &= (a+1)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a+1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a+1-a & 0 \\ -1 & a+1-(a+1) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

また、$Q = E - P$ より、

$$ \begin{aligned} Q &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

逆に、求めた $P, Q$ が 5つの条件をすべて満たすことを確認する。

$$ P^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = P $$

$$ Q^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = Q $$

$$ PQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O $$

$$ QP = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O $$

$$ \begin{aligned} aP + (a+1)Q &= a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + (a+1)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a & 0 \\ -a+a+1 & a+1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a+1 \end{pmatrix} = A \end{aligned} $$

となり、すべての条件を満たすことが示された。

(3)

（2）の結果より、行列 $P, Q$ はパラメータに依存しない一定の行列である。 $A_k = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 1 & k+1 \end{pmatrix}$ は、（2）の行列 $A$ において $a=k$ としたものなので、

$$ A_k = kP + (k+1)Q $$

と表すことができる。ここで、$A_k$ と $A_l$ ($k, l$ は整数) の積を計算すると、（1）の条件より $P^2=P, Q^2=Q, PQ=O, QP=O$ であるから、

$$ \begin{aligned} A_k A_l &= \{kP + (k+1)Q\}\{lP + (l+1)Q\} \\ &= klP^2 + k(l+1)PQ + (k+1)lQP + (k+1)(l+1)Q^2 \\ &= klP + (k+1)(l+1)Q \end{aligned} $$

となる。すなわち、積を計算する際は $P$ の係数同士、$Q$ の係数同士を掛ければよい。この性質を繰り返し用いて、求める行列の積を計算する。

$$ \begin{aligned} A_n A_{n-1} \cdots A_2 &= \{nP + (n+1)Q\}\{(n-1)P + nQ\} \cdots \{2P + 3Q\} \\ &= \{n \cdot (n-1) \cdots 2\}P + \{(n+1) \cdot n \cdots 3\}Q \\ &= n! P + \frac{(n+1)!}{2} Q \end{aligned} $$

$P, Q$ に成分を代入して計算する。

$$ \begin{aligned} A_n A_{n-1} \cdots A_2 &= n!\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \frac{(n+1)!}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} n! & 0 \\ -n! + \frac{(n+1)!}{2} & \frac{(n+1)!}{2} \end{pmatrix} \end{aligned} $$

ここで、$(2,1)$ 成分は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} -n! + \frac{(n+1)!}{2} &= n! \left( -1 + \frac{n+1}{2} \right) \\ &= n! \cdot \frac{n-1}{2} \\ &= \frac{n!(n-1)}{2} \end{aligned} $$

したがって、求める行列の積は以下のようになる。

$$ \begin{pmatrix} n! & 0 \\ \frac{n!(n-1)}{2} & \frac{(n+1)!}{2} \end{pmatrix} $$

解説

本問は、行列のスペクトル分解（固有値分解）を背景とした問題である。条件 $P^2=P, Q^2=Q, PQ=O, QP=O, P+Q=E$ を満たす $P, Q$ は直交射影行列と呼ばれ、これらを用いることで行列 $A$ の累乗や積の計算が非常に容易になる。（2）において $P, Q$ が $a$ に依存しない定数行列として求まることが、（3）の積の計算の決定的な布石となっている。直交射影行列の性質を用いた積の計算 $(aP+bQ)(cP+dQ)=acP+bdQ$ は、計算量を大幅に減らすための強力なテクニックであり、難関大では頻出のテーマである。