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東京大学 2007年理系第6問解説

方針・初手

（1）は積分を含んだ不等式の証明である。被積分関数を具体的に積分して自然対数の差の不等式として扱う方法（解析的アプローチ）と、関数 $y=1/t$ のグラフの面積として捉え、接線と割線を用いた台形近似から不等式を導く方法（幾何学的アプローチ）が考えられる。
（2）は（1）の結果を用いて $\log 2$ の近似値を評価する。$\log 2 = \int_1^2 \frac{1}{t} dt$ を考え、積分区間 $[1, 2]$ を一回で評価すると精度が足りないため、区間を2つに分割して（1）の不等式をそれぞれ適用する。

解法1

(1) 与えられた不等式の各辺の差を関数として定義し、微分を用いて証明する。まず、左辺の不等式 $\frac{2x}{a} < \int_{a-x}^{a+x} \frac{1}{t} dt$ を示す。 $x$ を変数とみなし、関数 $F(x)$ を次のように定義する。

$$ F(x) = \int_{a-x}^{a+x} \frac{1}{t} dt - \frac{2x}{a} $$

$F(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ F'(x) = \frac{1}{a+x} \cdot 1 - \frac{1}{a-x} \cdot (-1) - \frac{2}{a} $$

$$ F'(x) = \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a-x} - \frac{2}{a} $$

通分して計算すると、

$$ F'(x) = \frac{(a-x) + (a+x)}{a^2-x^2} - \frac{2}{a} = \frac{2a}{a^2-x^2} - \frac{2}{a} = \frac{2a^2 - 2(a^2-x^2)}{a(a^2-x^2)} = \frac{2x^2}{a(a^2-x^2)} $$

ここで、$0 < x < a$ であるから $a(a^2-x^2) > 0$ であり、$F'(x) > 0$ となる。したがって、$F(x)$ は区間 $0 \leqq x < a$ において単調に増加する。また、$F(0) = \int_a^a \frac{1}{t} dt - 0 = 0$ であるから、$x > 0$ において $F(x) > 0$ が成り立つ。よって、

$$ \frac{2x}{a} < \int_{a-x}^{a+x} \frac{1}{t} dt $$

が示された。

次に、右辺の不等式 $\int_{a-x}^{a+x} \frac{1}{t} dt < x \left( \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a-x} \right)$ を示す。同様に、関数 $G(x)$ を次のように定義する。

$$ G(x) = x \left( \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a-x} \right) - \int_{a-x}^{a+x} \frac{1}{t} dt = \frac{2ax}{a^2-x^2} - \int_{a-x}^{a+x} \frac{1}{t} dt $$

$G(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ G'(x) = \frac{2a(a^2-x^2) - 2ax(-2x)}{(a^2-x^2)^2} - \left( \frac{1}{a+x} - \left( -\frac{1}{a-x} \right) \right) $$

$$ G'(x) = \frac{2a^3 + 2ax^2}{(a^2-x^2)^2} - \left( \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a-x} \right) $$

$$ G'(x) = \frac{2a(a^2+x^2)}{(a^2-x^2)^2} - \frac{2a}{a^2-x^2} = \frac{2a(a^2+x^2) - 2a(a^2-x^2)}{(a^2-x^2)^2} = \frac{4ax^2}{(a^2-x^2)^2} $$

$0 < x < a$ において $G'(x) > 0$ であり、$G(x)$ は単調に増加する。 $G(0) = 0 - 0 = 0$ であるから、$x > 0$ において $G(x) > 0$ が成り立つ。よって、

$$ \int_{a-x}^{a+x} \frac{1}{t} dt < x \left( \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a-x} \right) $$

が示された。以上より、題意の不等式は成り立つ。

(2) $\log 2 = \int_1^2 \frac{1}{t} dt$ である。この積分区間 $[1, 2]$ を2つに分割し、$[1, 1.5]$ と $[1.5, 2]$ とする。

$$ \log 2 = \int_1^{1.5} \frac{1}{t} dt + \int_{1.5}^2 \frac{1}{t} dt $$

(i)

$\int_1^{1.5} \frac{1}{t} dt$ について $a-x = 1, a+x = 1.5$ とおくと、これを解いて $a = 1.25 = \frac{5}{4}, x = 0.25 = \frac{1}{4}$ となる。これらは $0 < x < a$ を満たす。（1）の不等式に代入すると、

$$ \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{\frac{5}{4}} < \int_1^{1.5} \frac{1}{t} dt < \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1.5} + \frac{1}{1} \right) $$

計算すると、左辺は $\frac{2}{5}$、右辺は $\frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} + 1 \right) = \frac{5}{12}$ となるため、

$$ \frac{2}{5} < \int_1^{1.5} \frac{1}{t} dt < \frac{5}{12} $$

(ii)

$\int_{1.5}^2 \frac{1}{t} dt$ について $a-x = 1.5, a+x = 2$ とおくと、これを解いて $a = 1.75 = \frac{7}{4}, x = 0.25 = \frac{1}{4}$ となる。これらも $0 < x < a$ を満たす。同様に（1）の不等式に代入すると、

$$ \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} < \int_{1.5}^2 \frac{1}{t} dt < \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{1.5} \right) $$

計算すると、左辺は $\frac{2}{7}$、右辺は $\frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right) = \frac{7}{24}$ となるため、

$$ \frac{2}{7} < \int_{1.5}^2 \frac{1}{t} dt < \frac{7}{24} $$

（i）, （ii）の各辺を足し合わせると、

$$ \frac{2}{5} + \frac{2}{7} < \int_1^{1.5} \frac{1}{t} dt + \int_{1.5}^2 \frac{1}{t} dt < \frac{5}{12} + \frac{7}{24} $$

左辺と右辺を計算する。

$$ \text{左辺} = \frac{14}{35} + \frac{10}{35} = \frac{24}{35} $$

$$ \text{右辺} = \frac{10}{24} + \frac{7}{24} = \frac{17}{24} $$

よって、$\frac{24}{35} < \log 2 < \frac{17}{24}$ が得られる。ここで、各辺と $0.68$, $0.71$ の大小関係を調べる。

$$ \frac{24}{35} - 0.68 = \frac{24}{35} - \frac{17}{25} = \frac{120 - 119}{175} = \frac{1}{175} > 0 $$

したがって、$0.68 < \frac{24}{35}$ である。

$$ 0.71 - \frac{17}{24} = \frac{71}{100} - \frac{17}{24} = \frac{426 - 425}{600} = \frac{1}{600} > 0 $$

したがって、$\frac{17}{24} < 0.71$ である。以上より、$0.68 < \frac{24}{35} < \log 2 < \frac{17}{24} < 0.71$ となり、

$$ 0.68 < \log 2 < 0.71 $$

が示された。

解法2

(1)について、関数のグラフの面積を用いた図形的解法 関数 $f(t) = \frac{1}{t}$ $(t > 0)$ は、第2次導関数が $f''(t) = \frac{2}{t^3} > 0$ であるため、下に凸な曲線である。定積分 $\int_{a-x}^{a+x} \frac{1}{t} dt$ は、曲線 $y = \frac{1}{t}$ と $t$ 軸、および2直線 $t = a-x$, $t = a+x$ で囲まれた図形の面積 $S$ を表す。

まず左辺について考える。 $t = a$ における曲線 $y = f(t)$ の接線を $l$ とすると、その方程式は $y = f'(a)(t-a) + f(a)$ すなわち $y = -\frac{1}{a^2}(t-a) + \frac{1}{a}$ である。 $f(t)$ は下に凸であるため、区間 $[a-x, a+x]$ （ただし $t \neq a$）において曲線は接線 $l$ の上側にある。つまり $f(t) > -\frac{1}{a^2}(t-a) + \frac{1}{a}$ が成り立つ。したがって、面積 $S$ は、接線 $l$ と $t$ 軸、$t = a-x$, $t = a+x$ で囲まれた台形（または長方形）の面積よりも大きい。この面積は定積分を用いて次のように計算できる。

$$ \int_{a-x}^{a+x} \left( -\frac{1}{a^2}(t-a) + \frac{1}{a} \right) dt = \left[ -\frac{1}{2a^2}(t-a)^2 + \frac{t}{a} \right]_{a-x}^{a+x} = \frac{2x}{a} $$

よって、$\frac{2x}{a} < \int_{a-x}^{a+x} \frac{1}{t} dt$ が成り立つ。

次に右辺について考える。曲線 $y = f(t)$ 上の2点 $A\left(a-x, \frac{1}{a-x}\right)$, $B\left(a+x, \frac{1}{a+x}\right)$ を結ぶ線分を $AB$ とする。 $f(t)$ は下に凸であるため、区間 $[a-x, a+x]$ の両端以外において、曲線は線分 $AB$ の下側にある。したがって、面積 $S$ は、線分 $AB$ と $t$ 軸、$t = a-x$, $t = a+x$ で囲まれた台形の面積よりも小さい。この台形の上底は $\frac{1}{a-x}$、下底は $\frac{1}{a+x}$、高さは $2x$ であるから、その面積は

$$ \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \left( \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a-x} \right) = x \left( \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a-x} \right) $$

よって、$\int_{a-x}^{a+x} \frac{1}{t} dt < x \left( \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a-x} \right)$ が成り立つ。以上から、題意の不等式は示された。

解説

（1）の積分不等式は、対数関数の近似に用いられる有名な不等式である。解析的に「差を取って微分する」手法は最も確実であり、様々な不等式証明に応用できる。一方で、被積分関数の凸性に着目し、接線と割線を用いた台形の面積比較（図形的解法）を行うと、計算量を大幅に減らしつつ本質的な理解を示すことができる。
（2）において $\log 2$ を評価する際、積分区間を分割せずに一気に評価しようとすると $\frac{2}{3} < \log 2 < \frac{3}{4}$ ($0.666 \dots < \log 2 < 0.75$) となり、求められている精度（$0.68 < \log 2 < 0.71$）に届かない。区間を $[1, 1.5]$ と $[1.5, 2]$ の2つに細分化することで、近似精度を向上させるのがポイントである。これは、曲線を折れ線や接線で近似する際、分割数を増やすほど誤差が小さくなることに対応している。