トップ› 東京大学› 2008年› 理系第6問

東京大学 2008年理系第6問解説

方針・初手

媒介変数で表された曲線の面積を求める問題である。まず $x(t)$ と $y(t)$ の増減と符号を調べ、曲線の概形と自己交差の有無を把握する。区間 $0 \leqq t \leqq 2\pi$ を $y \geqq 0$ と $y \leqq 0$ の領域に分け、それぞれの部分で $x$ の増減（折り返し）を確認し、同一の $x$ に対する $y$ の大小関係を比較して上側の曲線と下側の曲線を特定してから積分を立式する。

解法1

与えられた曲線は以下の式で表される。

$$ \begin{cases} x = \cos 2t \\ y = t \sin t \end{cases} \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) $$

$y = t \sin t$ について、区間 $0 \leqq t \leqq \pi$ では $y \geqq 0$ であり、区間 $\pi \leqq t \leqq 2\pi$ では $y \leqq 0$ である。この2つの区間において、それぞれ閉曲線が形成されるため、領域の面積を $y \geqq 0$ の部分（$S_1$）と $y \leqq 0$ の部分（$S_2$）に分けて求める。

($S_1$ について)

$0 \leqq t \leqq \pi$ の範囲を考える。 $x = \cos 2t$ は、$t$ が $0 \to \frac{\pi}{2}$ のとき $1 \to -1$ と単調減少し、$t$ が $\frac{\pi}{2} \to \pi$ のとき $-1 \to 1$ と単調増加する。同一の $x$ の値を与える $t_1 \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$ と $t_2 \in \left[ \frac{\pi}{2}, \pi \right]$ を考える。$x(t_1) = x(t_2)$ より $\cos 2t_1 = \cos 2t_2$ であり、条件から $t_2 = \pi - t_1$ と表せる。このとき、それぞれの $y$ の値の差をとると、

$$ \begin{aligned} y(t_2) - y(t_1) &= (\pi - t_1) \sin(\pi - t_1) - t_1 \sin t_1 \\ &= (\pi - t_1) \sin t_1 - t_1 \sin t_1 \\ &= (\pi - 2t_1) \sin t_1 \end{aligned} $$

$0 \leqq t_1 \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、$\pi - 2t_1 \geqq 0$ かつ $\sin t_1 \geqq 0$ となり、$y(t_2) \geqq y(t_1)$ が成り立つ。したがって、上側の曲線は $t \in \left[ \frac{\pi}{2}, \pi \right]$ の部分であり、下側の曲線は $t \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$ の部分である。よって面積 $S_1$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S_1 &= \int_{-1}^{1} (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}) \, dx \\ &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} y(t) x'(t) \, dt - \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} y(t) x'(t) \, dt \\ &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} y(t) x'(t) \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y(t) x'(t) \, dt \\ &= \int_{0}^{\pi} y(t) x'(t) \, dt \end{aligned} $$

($S_2$ について)

$\pi \leqq t \leqq 2\pi$ の範囲を考える。 $x = \cos 2t$ は、$t$ が $\pi \to \frac{3\pi}{2}$ のとき $1 \to -1$ と単調減少し、$t$ が $\frac{3\pi}{2} \to 2\pi$ のとき $-1 \to 1$ と単調増加する。同一の $x$ の値を与える $t_3 \in \left[ \pi, \frac{3\pi}{2} \right]$ と $t_4 \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]$ を考える。同様に $t_4 = 3\pi - t_3$ と表せる。このとき、それぞれの $y$ の値の差をとると、

$$ \begin{aligned} y(t_4) - y(t_3) &= (3\pi - t_3) \sin(3\pi - t_3) - t_3 \sin t_3 \\ &= (3\pi - t_3) \sin t_3 - t_3 \sin t_3 \\ &= (3\pi - 2t_3) \sin t_3 \end{aligned} $$

$\pi \leqq t_3 \leqq \frac{3\pi}{2}$ であるから、$3\pi - 2t_3 \geqq 0$ かつ $\sin t_3 \leqq 0$ となり、$y(t_4) \leqq y(t_3) \leqq 0$ が成り立つ。したがって、上側の曲線は $t \in \left[ \pi, \frac{3\pi}{2} \right]$ の部分であり、下側の曲線は $t \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]$ の部分である。よって面積 $S_2$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S_2 &= \int_{-1}^{1} (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}) \, dx \\ &= \int_{\frac{3\pi}{2}}^{\pi} y(t) x'(t) \, dt - \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} y(t) x'(t) \, dt \\ &= - \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} y(t) x'(t) \, dt - \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} y(t) x'(t) \, dt \\ &= - \int_{\pi}^{2\pi} y(t) x'(t) \, dt \end{aligned} $$

(定積分の計算)

ここで $y(t) x'(t)$ を計算する。$x'(t) = -2 \sin 2t = -4 \sin t \cos t$ であるから、

$$ \begin{aligned} y(t) x'(t) &= (t \sin t) \cdot (-4 \sin t \cos t) \\ &= -4t \sin^2 t \cos t \end{aligned} $$

不定積分 $\int y(t) x'(t) \, dt$ を部分積分を用いて求める。$\sin^2 t \cos t = \frac{1}{3} (\sin^3 t)'$ に着目する。

$$ \begin{aligned} \int -4t \sin^2 t \cos t \, dt &= -\frac{4}{3} \int t (\sin^3 t)' \, dt \\ &= -\frac{4}{3} t \sin^3 t + \frac{4}{3} \int \sin^3 t \, dt \\ &= -\frac{4}{3} t \sin^3 t + \frac{4}{3} \int (1 - \cos^2 t) \sin t \, dt \\ &= -\frac{4}{3} t \sin^3 t + \frac{4}{3} \left( -\cos t + \frac{1}{3} \cos^3 t \right) + C \\ &= -\frac{4}{3} t \sin^3 t - \frac{4}{3} \cos t + \frac{4}{9} \cos^3 t + C \quad (C\text{ は積分定数}) \end{aligned} $$

この原始関数を $F(t)$ とおく。$t=0, \pi, 2\pi$ における $F(t)$ の値は以下の通りである。

$$ \begin{aligned} F(0) &= 0 - \frac{4}{3} + \frac{4}{9} = -\frac{8}{9} \\ F(\pi) &= 0 + \frac{4}{3} - \frac{4}{9} = \frac{8}{9} \\ F(2\pi) &= 0 - \frac{4}{3} + \frac{4}{9} = -\frac{8}{9} \end{aligned} $$

以上を用いて、$S_1$ と $S_2$ の値を求める。

$$ \begin{aligned} S_1 &= F(\pi) - F(0) = \frac{8}{9} - \left( -\frac{8}{9} \right) = \frac{16}{9} \\ S_2 &= - \{ F(2\pi) - F(\pi) \} = - \left( -\frac{8}{9} - \frac{8}{9} \right) = \frac{16}{9} \end{aligned} $$

ゆえに、求める領域の総面積 $S$ は、

$$ \begin{aligned} S &= S_1 + S_2 \\ &= \frac{16}{9} + \frac{16}{9} \\ &= \frac{32}{9} \end{aligned} $$

解説

媒介変数で表された曲線の面積を求める典型問題である。ただ単に公式に当てはめるのではなく、$x$ の増減に応じて積分区間を分割し、どの部分が「上側の曲線」でどの部分が「下側の曲線」になるのかを論理的に検証することが重要である。本問では、同一の $x$ 座標を与える $t$ のペア（$t_1$ と $\pi-t_1$、$t_3$ と $3\pi-t_3$）を見つけ、それらの $y$ 座標の大小を比較することで上下関係を厳密に決定した。また、$\int x' y \, dt$ の形にまとめた後の部分積分の計算量が多いので、計算ミスに注意したい。