東京大学 2011年 理系 第3問 解説

方針・初手

（1）では、動点 $Q$ の座標を求めるために、円の中心角を弧長 $L$ と半径 $t$ を用いて表す。極座標の考え方を適用して座標を立式する。 （2）では、曲線の長さの公式 $\int \sqrt{ \{u'(t)\}^2 + \{v'(t)\}^2 } dt$ の被積分関数を計算する。導出された無理関数の積分は、$\sqrt{t^2+L^2}=s$ などの置換積分を用いて計算を進める。 （3）では、（2）で得られた $f(a)$ の式から、$\log a$ を含む項を分離し、不定形にならないように極限を計算する。

解法1

(1)

点 $P(t, 0)$ は $x$ 軸の正の部分にあるので $t > 0$ である。 原点 $O$ を中心とし、点 $P$ を通る円の半径は $t$ である。

この円周上を点 $P$ から反時計回りに道のり $L$ だけ進んだとき、その弧に対応する中心角を $\theta$ とすると、$L = t\theta$ より

$$ \theta = \frac{L}{t} $$

である。

したがって、点 $Q$ は半径 $t$、偏角 $\frac{L}{t}$ の点となるから、その座標 $(u(t), v(t))$ は

$$ u(t) = t \cos \left( \frac{L}{t} \right) $$

$$ v(t) = t \sin \left( \frac{L}{t} \right) $$

となる。

(2)

(1)で求めた $u(t), v(t)$ を $t$ で微分すると、積の微分法および合成関数の微分法より

$$ u'(t) = 1 \cdot \cos \left( \frac{L}{t} \right) + t \cdot \left\{ -\sin \left( \frac{L}{t} \right) \right\} \cdot \left( -\frac{L}{t^2} \right) = \cos \left( \frac{L}{t} \right) + \frac{L}{t} \sin \left( \frac{L}{t} \right) $$

$$ v'(t) = 1 \cdot \sin \left( \frac{L}{t} \right) + t \cdot \cos \left( \frac{L}{t} \right) \cdot \left( -\frac{L}{t^2} \right) = \sin \left( \frac{L}{t} \right) - \frac{L}{t} \cos \left( \frac{L}{t} \right) $$

これらをそれぞれ2乗して加えると

$$ \begin{aligned} \{u'(t)\}^2 + \{v'(t)\}^2 &= \left\{ \cos \left( \frac{L}{t} \right) + \frac{L}{t} \sin \left( \frac{L}{t} \right) \right\}^2 + \left\{ \sin \left( \frac{L}{t} \right) - \frac{L}{t} \cos \left( \frac{L}{t} \right) \right\}^2 \\ &= \cos^2 \left( \frac{L}{t} \right) + 2\frac{L}{t} \sin \left( \frac{L}{t} \right) \cos \left( \frac{L}{t} \right) + \frac{L^2}{t^2} \sin^2 \left( \frac{L}{t} \right) \\ &\quad + \sin^2 \left( \frac{L}{t} \right) - 2\frac{L}{t} \sin \left( \frac{L}{t} \right) \cos \left( \frac{L}{t} \right) + \frac{L^2}{t^2} \cos^2 \left( \frac{L}{t} \right) \\ &= \left\{ \cos^2 \left( \frac{L}{t} \right) + \sin^2 \left( \frac{L}{t} \right) \right\} + \frac{L^2}{t^2} \left\{ \sin^2 \left( \frac{L}{t} \right) + \cos^2 \left( \frac{L}{t} \right) \right\} \\ &= 1 + \frac{L^2}{t^2} \end{aligned} $$

$0 < a \leqq t \leqq 1$ において $t > 0$ であるから

$$ \sqrt{\{u'(t)\}^2 + \{v'(t)\}^2} = \sqrt{1 + \frac{L^2}{t^2}} = \frac{\sqrt{t^2+L^2}}{t} $$

ゆえに、求める積分 $f(a)$ は

$$ f(a) = \int_a^1 \frac{\sqrt{t^2+L^2}}{t} dt $$

となる。

ここで $\sqrt{t^2+L^2} = s$ とおくと、$t^2+L^2 = s^2$ より $t^2 = s^2-L^2$ である。 両辺を微分すると $2t dt = 2s ds$ すなわち $t dt = s ds$ となる。 積分区間は、$t$ が $a$ から $1$ に変化するとき、$s$ は $\sqrt{a^2+L^2}$ から $\sqrt{1+L^2}$ に変化する。

被積分関数を変形して置換積分を実行すると

$$ \begin{aligned} f(a) &= \int_a^1 \frac{\sqrt{t^2+L^2}}{t^2} \cdot t dt \\ &= \int_{\sqrt{a^2+L^2}}^{\sqrt{1+L^2}} \frac{s}{s^2-L^2} \cdot s ds \\ &= \int_{\sqrt{a^2+L^2}}^{\sqrt{1+L^2}} \frac{s^2}{s^2-L^2} ds \end{aligned} $$

分数関数を部分分数分解する。

$$ \frac{s^2}{s^2-L^2} = \frac{(s^2-L^2)+L^2}{s^2-L^2} = 1 + \frac{L^2}{(s-L)(s+L)} = 1 + \frac{L}{2} \left( \frac{1}{s-L} - \frac{1}{s+L} \right) $$

であるから

$$ \begin{aligned} f(a) &= \int_{\sqrt{a^2+L^2}}^{\sqrt{1+L^2}} \left\{ 1 + \frac{L}{2} \left( \frac{1}{s-L} - \frac{1}{s+L} \right) \right\} ds \\ &= \left[ s + \frac{L}{2} \log \left| \frac{s-L}{s+L} \right| \right]_{\sqrt{a^2+L^2}}^{\sqrt{1+L^2}} \end{aligned} $$

ここで、$t > 0, L > 0$ より $s = \sqrt{t^2+L^2} > L$ であるから絶対値記号はそのまま外せる。 さらに対数部分について、次のように変形できる。

$$ \frac{s-L}{s+L} = \frac{(s-L)^2}{s^2-L^2} = \frac{(s-L)^2}{t^2} $$

であるから

$$ \frac{L}{2} \log \frac{s-L}{s+L} = \frac{L}{2} \log \frac{(s-L)^2}{t^2} = L \log \frac{s-L}{t} = L \log \frac{\sqrt{t^2+L^2}-L}{t} $$

これを用いると、不定積分は $\sqrt{t^2+L^2} + L \log \frac{\sqrt{t^2+L^2}-L}{t}$ となるから

$$ \begin{aligned} f(a) &= \left[ \sqrt{t^2+L^2} + L \log \frac{\sqrt{t^2+L^2}-L}{t} \right]_a^1 \\ &= \sqrt{1+L^2} + L \log \left( \sqrt{1+L^2}-L \right) - \left( \sqrt{a^2+L^2} + L \log \frac{\sqrt{a^2+L^2}-L}{a} \right) \\ &= \sqrt{1+L^2} - \sqrt{a^2+L^2} + L \log \left( \sqrt{1+L^2}-L \right) - L \log \frac{\sqrt{a^2+L^2}-L}{a} \end{aligned} $$

(3)

(2)で得られた式の最後の項について、分母分子に $\sqrt{a^2+L^2}+L$ を掛けると

$$ \frac{\sqrt{a^2+L^2}-L}{a} = \frac{(a^2+L^2)-L^2}{a(\sqrt{a^2+L^2}+L)} = \frac{a^2}{a(\sqrt{a^2+L^2}+L)} = \frac{a}{\sqrt{a^2+L^2}+L} $$

となるため、

$$ \log \frac{\sqrt{a^2+L^2}-L}{a} = \log \frac{a}{\sqrt{a^2+L^2}+L} = \log a - \log \left( \sqrt{a^2+L^2}+L \right) $$

である。

これを $f(a)$ の式に代入すると

$$ f(a) = \sqrt{1+L^2} - \sqrt{a^2+L^2} + L \log \left( \sqrt{1+L^2}-L \right) - L \log a + L \log \left( \sqrt{a^2+L^2}+L \right) $$

となる。

この両辺を $\log a$ で割ると

$$ \frac{f(a)}{\log a} = -L + \frac{\sqrt{1+L^2} - \sqrt{a^2+L^2} + L \log \left( \sqrt{1+L^2}-L \right) + L \log \left( \sqrt{a^2+L^2}+L \right)}{\log a} $$

となる。

ここで、$a \to +0$ とすると分子の各項は

$$ \sqrt{a^2+L^2} \to \sqrt{L^2} = L $$

$$ \log \left( \sqrt{a^2+L^2}+L \right) \to \log (L+L) = \log 2L $$

と有限確定値に収束するから、分子全体は

$$ \sqrt{1+L^2} - L + L \log \left( \sqrt{1+L^2}-L \right) + L \log 2L $$

という定数に収束する。

一方、分母の $\log a$ は $a \to +0$ において $-\infty$ に発散する。 したがって、

$$ \lim_{a \to +0} \frac{\sqrt{1+L^2} - \sqrt{a^2+L^2} + L \log \left( \sqrt{1+L^2}-L \right) + L \log \left( \sqrt{a^2+L^2}+L \right)}{\log a} = 0 $$

となる。

ゆえに、求める極限は

$$ \lim_{a \to +0} \frac{f(a)}{\log a} = -L $$

である。

解説

• 曲線の長さの公式 $\int \sqrt{ (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 } dt$ を用いる典型的な微積分問題である。
• （2）の定積分 $\int \frac{\sqrt{t^2+L^2}}{t} dt$ は、無理関数を含む積分の頻出パターンである。解答のように $\sqrt{t^2+L^2}=s$ と置換するほか、$t = L\tan\theta$ と三角関数を用いて置換する方法も有効である。
• （3）では、極限を取る際に不定形を回避するため、（2）の積分結果から $\log a$ を分離してくくり出す式変形がポイントとなる。対数の性質を用いて $\log a$ の項を独立させれば、容易に極限が計算できる。

答え

(1)

$$ u(t) = t \cos \left( \frac{L}{t} \right), \quad v(t) = t \sin \left( \frac{L}{t} \right) $$

(2)

$$ f(a) = \sqrt{1+L^2} - \sqrt{a^2+L^2} + L \log \left( \sqrt{1+L^2}-L \right) - L \log \frac{\sqrt{a^2+L^2}-L}{a} $$

(3)

$$ -L $$