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東京大学 1977年理系第4問解説

方針・初手

正方形が滑らずに転がるとき、正方形内の点 $P$ の軌跡は、各回の転がりにおいて回転中心を原点とする円弧の一部となる。 1回の転がりにつき、正方形は $x$ 軸の正の向きへ $\frac{\pi}{2}$ 回転する。 $x=1$ から $x=9$ までの区間は、正方形が4回転がって元の姿勢に戻るまでのちょうど1周期分に相当する。各区間ごとに回転中心が異なるため、4つの区間に分けて回転体の体積を計算する。媒介変数表示された曲線の回転体の体積公式 $V = \pi \int y^2 \,dx$ に従い、各区間の定積分を計算して足し合わせる。

解法1

1. 点 $P$ の軌跡の把握と積分区間の分割

正方形の一辺の長さは $2$ である。初期状態において、正方形の頂点は $(0,0), (2,0), (2,2), (0,2)$ にあり、点 $P$ の座標は $(1, a)$ である。正方形が転がるとき、点 $P$ は各区間の回転中心の周りを右回りに $\frac{\pi}{2}$ だけ回転する軌跡を描く。

1回目の転がり: 回転中心は $C_1(2,0)$
2回目の転がり: 回転中心は $C_2(4,0)$
3回目の転がり: 回転中心は $C_3(6,0)$
4回目の転がり: 回転中心は $C_4(8,0)$

4回目の転がりが終了したとき、正方形は初期状態と同じ姿勢に戻り、全体の $x$ 座標が $+8$ される。初期状態の点 $P$ の $x$ 座標は $1$、4回目の転がり終了時の点 $P$ の $x$ 座標は $1+8=9$ である。したがって、求める体積 $V(a)$ は、これら4回の転がりに対応する曲線を $x$ 軸のまわりに回転させた体積の和となる。なお、各区間において点 $P$ の $x$ 座標は単調増加する。

2. 各区間の体積計算の定式化

各回の回転中心を $(c, 0)$ とする。点 $P$ の中心 $(c, 0)$ からの相対座標を $(X, Y)$ とすると、$x = c + X, y = Y$ と表せる。回転体の体積 $V_k$ は、次のように書ける。

$$ V_k = \pi \int y^2 \,dx = \pi \int Y^2 \,dX $$

$X, Y$ を極座標を用いて $X = r \cos\alpha, Y = r \sin\alpha$ （$\alpha$ は $x$ 軸正の向きからの偏角、$r$ は回転中心からの距離で一定）と表す。右回りに $\frac{\pi}{2}$ 回転するため、偏角 $\alpha$ は開始時の角 $\alpha_{start}$ から終了時の角 $\alpha_{end} = \alpha_{start} - \frac{\pi}{2}$ まで変化する。 $dX = -r \sin\alpha \,d\alpha$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int Y^2 \,dX &= \int_{\alpha_{start}}^{\alpha_{end}} (r \sin\alpha)^2 (-r \sin\alpha) \,d\alpha \\ &= r^3 \int_{\alpha_{end}}^{\alpha_{start}} \sin^3\alpha \,d\alpha \end{aligned} $$

ここで、不定積分 $\int \sin^3\alpha \,d\alpha = -\cos\alpha + \frac{1}{3}\cos^3\alpha + C$ を用いると、

$$ \begin{aligned} r^3 \int_{\alpha_{end}}^{\alpha_{start}} \sin^3\alpha \,d\alpha &= r^3 \left[ -\cos\alpha + \frac{1}{3}\cos^3\alpha \right]_{\alpha_{end}}^{\alpha_{start}} \\ &= r^3 \left( -\cos\alpha_{start} + \frac{1}{3}\cos^3\alpha_{start} \right) - r^3 \left( -\cos\alpha_{end} + \frac{1}{3}\cos^3\alpha_{end} \right) \end{aligned} $$

$r \cos\alpha_{start} = X_{start}$（開始時の相対 $x$ 座標）、$r \cos\alpha_{end} = X_{end}$（終了時の相対 $x$ 座標）を代入すると、

$$ V_k = \pi \left\{ -r^2 X_{start} + \frac{1}{3}X_{start}^3 - \left( -r^2 X_{end} + \frac{1}{3}X_{end}^3 \right) \right\} $$

終了時の相対座標 $(X_{end}, Y_{end})$ は、開始時の相対座標 $(X_{start}, Y_{start})$ を原点周りに $-\frac{\pi}{2}$ 回転させたものなので、 $(X_{end}, Y_{end}) = (Y_{start}, -X_{start})$ である。また、$r^2 = X_{start}^2 + Y_{start}^2$ である。これらを代入して整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{V_k}{\pi} &= -(X_{start}^2 + Y_{start}^2)X_{start} + \frac{1}{3}X_{start}^3 - \left\{ -(X_{start}^2 + Y_{start}^2)Y_{start} + \frac{1}{3}Y_{start}^3 \right\} \\ &= -\frac{2}{3}X_{start}^3 - X_{start}Y_{start}^2 + X_{start}^2 Y_{start} + \frac{2}{3}Y_{start}^3 \end{aligned} $$

この関数を $g(X, Y) = -\frac{2}{3}X^3 - XY^2 + X^2 Y + \frac{2}{3}Y^3$ と置く。各区間の体積は $V_k = \pi \cdot g(X_{start}, Y_{start})$ と計算できる。

3. 各区間の開始時の相対座標と体積の計算

(i) 1回目の転がり

回転中心は $C_1(2,0)$。開始時の点 $P$ の絶対座標は $(1, a)$ なので、相対座標は $(X_1, Y_1) = (1-2, a) = (-1, a)$ である。

$$ \begin{aligned} g(-1, a) &= -\frac{2}{3}(-1)^3 - (-1)a^2 + (-1)^2 a + \frac{2}{3}a^3 \\ &= \frac{2}{3}a^3 + a^2 + a + \frac{2}{3} \end{aligned} $$

(ii) 2回目の転がり

1回目終了時の相対座標は $(a, 1)$。絶対座標は $(2+a, 1)$ となる。回転中心は $C_2(4,0)$。開始時の相対座標は $(X_2, Y_2) = (2+a-4, 1) = (a-2, 1)$ である。

$$ \begin{aligned} g(a-2, 1) &= -\frac{2}{3}(a-2)^3 - (a-2)(1)^2 + (a-2)^2(1) + \frac{2}{3}(1)^3 \\ &= -\frac{2}{3}(a^3 - 6a^2 + 12a - 8) - a + 2 + a^2 - 4a + 4 + \frac{2}{3} \\ &= -\frac{2}{3}a^3 + 4a^2 - 8a + \frac{16}{3} + a^2 - 5a + \frac{20}{3} \\ &= -\frac{2}{3}a^3 + 5a^2 - 13a + 12 \end{aligned} $$

(iii) 3回目の転がり

2回目終了時の相対座標は $(1, -(a-2)) = (1, 2-a)$。絶対座標は $(4+1, 2-a) = (5, 2-a)$ となる。回転中心は $C_3(6,0)$。開始時の相対座標は $(X_3, Y_3) = (5-6, 2-a) = (-1, 2-a)$ である。

$$ \begin{aligned} g(-1, 2-a) &= -\frac{2}{3}(-1)^3 - (-1)(2-a)^2 + (-1)^2(2-a) + \frac{2}{3}(2-a)^3 \\ &= \frac{2}{3} + (a^2 - 4a + 4) + (2-a) + \frac{2}{3}(8 - 12a + 6a^2 - a^3) \\ &= a^2 - 5a + \frac{20}{3} + \frac{16}{3} - 8a + 4a^2 - \frac{2}{3}a^3 \\ &= -\frac{2}{3}a^3 + 5a^2 - 13a + 12 \end{aligned} $$

(iv) 4回目の転がり

3回目終了時の相対座標は $(2-a, 1)$。絶対座標は $(6+2-a, 1) = (8-a, 1)$ となる。回転中心は $C_4(8,0)$。開始時の相対座標は $(X_4, Y_4) = (8-a-8, 1) = (-a, 1)$ である。

$$ \begin{aligned} g(-a, 1) &= -\frac{2}{3}(-a)^3 - (-a)(1)^2 + (-a)^2(1) + \frac{2}{3}(1)^3 \\ &= \frac{2}{3}a^3 + a^2 + a + \frac{2}{3} \end{aligned} $$

4. 全体の体積 $V(a)$ とその最小値

4つの区間の体積の和 $V(a)$ を求める。

$$ \begin{aligned} V(a) &= \pi \{ g(-1, a) + g(a-2, 1) + g(-1, 2-a) + g(-a, 1) \} \\ &= \pi \left\{ 2\left(\frac{2}{3}a^3 + a^2 + a + \frac{2}{3}\right) + 2\left(-\frac{2}{3}a^3 + 5a^2 - 13a + 12\right) \right\} \\ &= \pi \left( \frac{4}{3}a^3 + 2a^2 + 2a + \frac{4}{3} - \frac{4}{3}a^3 + 10a^2 - 26a + 24 \right) \\ &= \pi \left( 12a^2 - 24a + \frac{76}{3} \right) \\ &= 12\pi (a^2 - 2a) + \frac{76}{3}\pi \\ &= 12\pi (a-1)^2 - 12\pi + \frac{76}{3}\pi \\ &= 12\pi (a-1)^2 + \frac{40}{3}\pi \end{aligned} $$

$a$ は $0 \leqq a \leqq 2$ の範囲を動くため、$V(a)$ は $a=1$ のとき最小となる。

解説

図形が転がるときの特定の点の軌跡（トロコイド）を回転させた立体の体積を求める問題である。まともにパラメータを用いて $y^2 \frac{dx}{d\theta}$ を展開して積分しようとすると、計算量が非常に多くなりミスを誘発する。本解法のように、「平行移動しても面積・体積は変わらない」という性質を用いて回転中心を原点に揃え、極座標の偏角 $\alpha$ を用いた積分の形に帰着させることで、計算を劇的に簡略化できる。また、1回目と4回目、2回目と3回目の定積分が同じ値になるのは、正方形の中心軌跡に対する点 $P$ の相対的な位置の対称性によるものである。