名古屋大学 1984年 理系 第5問 解説

方針・初手

与えられた条件 $x^2 + y^2 = 1$ より、点 $(x, y)$ は原点を中心とする半径 $1$ の円周上を動きます。このことから、媒介変数 $\theta$ を用いて $x = \cos \theta, y = \sin \theta$ と置く手法が有効です。

求める内積 $\vec{x} \cdot A\vec{x}$ を成分計算して $x, y$ の式で表した後、三角関数に置き換えて最大値を考えます。その際、次数を下げるために $2$ 倍角の公式や半角の公式を利用し、最後に三角関数の合成を行います。

解法1

$\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ より、

$$ A\vec{x} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix} $$

したがって、$\vec{x}$ と $A\vec{x}$ の内積は以下のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \vec{x} \cdot A\vec{x} &= x(ax + by) + y(cx + dy) \\ &= ax^2 + bxy + cxy + dy^2 \\ &= ax^2 + (b+c)xy + dy^2 \end{aligned} $$

条件 $x^2 + y^2 = 1$ より、$\vec{x}$ は単位円上のベクトルであるから、実数 $\theta$ ($0 \leqq \theta < 2\pi$) を用いて

$$ \begin{cases} x = \cos \theta \\ y = \sin \theta \end{cases} $$

と表すことができる。これを内積の式に代入すると、

$$ \vec{x} \cdot A\vec{x} = a\cos^2 \theta + (b+c)\sin \theta \cos \theta + d\sin^2 \theta $$

ここで、$2$ 倍角の公式と半角の公式を用いて次数を下げる。

$$ \begin{aligned} \cos^2 \theta &= \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \\ \sin^2 \theta &= \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \\ \sin \theta \cos \theta &= \frac{\sin 2\theta}{2} \end{aligned} $$

これらを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} \vec{x} \cdot A\vec{x} &= a\left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right) + (b+c)\left(\frac{\sin 2\theta}{2}\right) + d\left(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right) \\ &= \frac{a+d}{2} + \frac{b+c}{2}\sin 2\theta + \frac{a-d}{2}\cos 2\theta \end{aligned} $$

次に、$\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ の項について三角関数の合成を行う。

$$ \frac{b+c}{2}\sin 2\theta + \frac{a-d}{2}\cos 2\theta = \sqrt{\left(\frac{b+c}{2}\right)^2 + \left(\frac{a-d}{2}\right)^2} \sin(2\theta + \alpha) $$

ただし、$\alpha$ は以下の条件を満たす角である。

$$ \cos \alpha = \frac{\frac{b+c}{2}}{\sqrt{\left(\frac{b+c}{2}\right)^2 + \left(\frac{a-d}{2}\right)^2}}, \quad \sin \alpha = \frac{\frac{a-d}{2}}{\sqrt{\left(\frac{b+c}{2}\right)^2 + \left(\frac{a-d}{2}\right)^2}} $$

平方根の中身を整理すると、

$$ \sqrt{\left(\frac{b+c}{2}\right)^2 + \left(\frac{a-d}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{(b+c)^2 + (a-d)^2} $$

したがって、内積の式は次のように表される。

$$ \vec{x} \cdot A\vec{x} = \frac{a+d}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{(a-d)^2 + (b+c)^2} \sin(2\theta + \alpha) $$

$0 \leqq \theta < 2\pi$ のとき、$2\theta + \alpha$ は $4\pi$ の区間幅を動くため、$\sin(2\theta + \alpha)$ は最大値 $1$ をとる。

よって、$\vec{x} \cdot A\vec{x}$ の最大値は

$$ \frac{a+d}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{(a-d)^2 + (b+c)^2} = \frac{a+d+\sqrt{(a-d)^2+(b+c)^2}}{2} $$

解法2

内積 $\vec{x} \cdot A\vec{x}$ を成分計算し、対称行列を用いた $2$ 次形式として捉える。

$$ \begin{aligned} \vec{x} \cdot A\vec{x} &= ax^2 + (b+c)xy + dy^2 \\ &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \frac{b+c}{2} \\ \frac{b+c}{2} & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned} $$

ここで、実対称行列 $S = \begin{pmatrix} a & \frac{b+c}{2} \\ \frac{b+c}{2} & d \end{pmatrix}$ を考える。

実対称行列 $S$ は、ある直交行列 $P$ を用いて対角化することができる。すなわち、

$$ P^{-1} S P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} $$

とできる。ここで $\lambda_1, \lambda_2$ は $S$ の固有値であり、$\lambda_1 \geqq \lambda_2$ としても一般性を失わない。

ベクトル $\vec{x}$ に対して、$\vec{x} = P \vec{x}'$ となるベクトル $\vec{x}' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ を導入する。直交行列による変換はベクトルの大きさを変えない（ノルムを保存する）ため、$|\vec{x}|^2 = x^2 + y^2 = 1$ より、

$$ |\vec{x}'|^2 = (x')^2 + (y')^2 = 1 $$

が成り立つ。このとき、内積の式は次のように変形できる。なお、直交行列では $P^{-1} = P^T$ である。

$$ \begin{aligned} \vec{x}^T S \vec{x} &= (P\vec{x}')^T S (P\vec{x}') \\ &= (\vec{x}')^T P^T S P \vec{x}' \\ &= \begin{pmatrix} x' & y' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \\ &= \lambda_1 (x')^2 + \lambda_2 (y')^2 \end{aligned} $$

$\lambda_1 \geqq \lambda_2$ であり、かつ $(x')^2 + (y')^2 = 1$ であるから、

$$ \begin{aligned} \lambda_1 (x')^2 + \lambda_2 (y')^2 &\leqq \lambda_1 (x')^2 + \lambda_1 (y')^2 \\ &= \lambda_1 \left\{ (x')^2 + (y')^2 \right\} \\ &= \lambda_1 \end{aligned} $$

等号は $x' = 1, y' = 0$ （すなわち対応する固有ベクトル方向のとき）に成立する。 したがって、求める最大値は実対称行列 $S$ の最大固有値 $\lambda_1$ に等しい。

$S$ の固有方程式は

$$ \begin{aligned} \det(S - \lambda I) &= \begin{vmatrix} a-\lambda & \frac{b+c}{2} \\ \frac{b+c}{2} & d-\lambda \end{vmatrix} \\ &= (a-\lambda)(d-\lambda) - \left(\frac{b+c}{2}\right)^2 \\ &= \lambda^2 - (a+d)\lambda + ad - \frac{(b+c)^2}{4} = 0 \end{aligned} $$

解の公式を用いて固有値 $\lambda$ を求める。

$$ \begin{aligned} \lambda &= \frac{a+d \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4\left(ad - \frac{(b+c)^2}{4}\right)}}{2} \\ &= \frac{a+d \pm \sqrt{a^2 + 2ad + d^2 - 4ad + (b+c)^2}}{2} \\ &= \frac{a+d \pm \sqrt{(a-d)^2 + (b+c)^2}}{2} \end{aligned} $$

最大固有値 $\lambda_1$ は複合の正の方であるから、求める最大値は

$$ \frac{a+d + \sqrt{(a-d)^2 + (b+c)^2}}{2} $$

解説

2つの変数の2次同次式 $ax^2 + bxy + cy^2$ の最大・最小を条件 $x^2 + y^2 = 1$ の下で求める典型問題です。

解法1の極座標表示（三角関数による媒介変数表示）は、高校数学において最も自然で確実なアプローチです。2倍角・半角の公式によってすべての項を $2\theta$ の三角関数に揃え、合成によって1つの正弦関数（または余弦関数）にまとめる流れは、頻出の手法として身につけておく必要があります。

解法2は、2次形式を対称行列で表現し、その固有値問題に帰着させる線形代数の考え方を用いたものです。「制約条件つき2次形式の最大・最小は、対応する対称行列の最大・最小固有値と一致する」という事実（レイリー商の定理などに関連）を知っていると、行列の固有方程式を解くだけで素早く結論を得ることができます。

答え

$$ \frac{a+d+\sqrt{(a-d)^2+(b+c)^2}}{2} $$