東京大学 1994年 文系 第3問 解説

方針・初手

ベクトル $\vec{u}$ は $\theta$ をパラメータとする単位円上のベクトルである。$|A\vec{u}|^2$ を成分で計算し、$\theta$ の関数として整理して最大値と最小値を求めるのが自然な方針である。三角関数の合成を用いることで、最大値と最小値を $a$ の式で表すことができる。

その後、得られた最大値・最小値と、証明すべき不等式の両辺の2乗とを比較し、与えられた $a$ の範囲（$0 < a \leqq 1$）において大小関係が成り立つことを示す。

解法1

$\vec{u} = \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}$ より、$A\vec{u}$ は次のように計算できる。

$$ A\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1+2a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta + \sin \theta \\ \cos \theta + (1+2a)\sin \theta \end{pmatrix} $$

このベクトルの大きさの2乗 $|A\vec{u}|^2$ を求める。

$$ |A\vec{u}|^2 = (\cos \theta + \sin \theta)^2 + (\cos \theta + \sin \theta + 2a\sin \theta)^2 $$

2項目を展開して整理する。

$$ |A\vec{u}|^2 = 2(\cos \theta + \sin \theta)^2 + 4a\sin \theta (\cos \theta + \sin \theta) + 4a^2\sin^2 \theta $$

ここで、2倍角の公式と半角の公式を用いて $\theta$ の次数を下げる。

$$ (\cos \theta + \sin \theta)^2 = 1 + 2\sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2\theta $$

$$ 2\sin \theta (\cos \theta + \sin \theta) = 2\sin \theta \cos \theta + 2\sin^2 \theta = \sin 2\theta + 1 - \cos 2\theta $$

$$ 2\sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta $$

これらを代入する。

$$ \begin{aligned} |A\vec{u}|^2 &= 2(1 + \sin 2\theta) + 2a(\sin 2\theta + 1 - \cos 2\theta) + 2a^2(1 - \cos 2\theta) \\ &= 2(a^2+a+1) + 2(a+1)\sin 2\theta - 2a(a+1)\cos 2\theta \end{aligned} $$

$\theta$ を含む部分について、三角関数の合成を行う。

$$ \begin{aligned} 2(a+1)\sin 2\theta - 2a(a+1)\cos 2\theta &= \sqrt{ \{2(a+1)\}^2 + \{-2a(a+1)\}^2 } \sin(2\theta - \alpha) \\ &= \sqrt{ 4(a+1)^2 + 4a^2(a+1)^2 } \sin(2\theta - \alpha) \\ &= 2(a+1)\sqrt{a^2+1} \sin(2\theta - \alpha) \end{aligned} $$

（ただし、$\alpha$ は $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}, \sin \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}$ を満たす角）

$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ より、$\sin(2\theta - \alpha)$ は $-1$ から $1$ までのすべての値をとる。したがって、$|A\vec{u}|^2$ の最大値 $M(a)$ と最小値 $m(a)$ はそれぞれ以下のようになる。

$$ M(a) = 2(a^2+a+1) + 2(a+1)\sqrt{a^2+1} $$

$$ m(a) = 2(a^2+a+1) - 2(a+1)\sqrt{a^2+1} $$

次に、$M(a)$ と $m(a)$ のとりうる範囲を評価する。 $0 < a \leqq 1$ において、$a^2+a+1$, $a+1$, $\sqrt{a^2+1}$ はすべて正であり、単調に増加する。したがって $M(a)$ も単調に増加するため、$M(a)$ は $a=1$ のときに最大となる。

$$ M(a) \leqq M(1) = 2(3) + 2(2)\sqrt{2} = 6 + 4\sqrt{2} = (2+\sqrt{2})^2 $$

一方、$m(a)$ については、直接評価する代わりに $M(a)m(a)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} M(a)m(a) &= \{2(a^2+a+1)\}^2 - \{2(a+1)\sqrt{a^2+1}\}^2 \\ &= 4(a^4+2a^3+3a^2+2a+1) - 4(a^2+2a+1)(a^2+1) \\ &= 4(a^4+2a^3+3a^2+2a+1) - 4(a^4+2a^3+2a^2+2a+1) \\ &= 4a^2 \end{aligned} $$

$M(a) > 0$ であるから、$m(a) = \frac{4a^2}{M(a)}$ と表せる。ここで $M(a) \leqq 6 + 4\sqrt{2}$ であることを用いると、以下の不等式が成り立つ。

$$ m(a) \geqq \frac{4a^2}{6 + 4\sqrt{2}} = \frac{2a^2}{3 + 2\sqrt{2}} $$

分母を有理化する。

$$ \frac{2}{3 + 2\sqrt{2}} = 2(3 - 2\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2} = (2-\sqrt{2})^2 $$

したがって、$m(a) \geqq (2-\sqrt{2})^2 a^2$ が成り立つ。 以上より、$|A\vec{u}|^2$ は以下の不等式を満たす。

$$ (2-\sqrt{2})^2 a^2 \leqq m(a) \leqq |A\vec{u}|^2 \leqq M(a) \leqq (2+\sqrt{2})^2 $$

$|A\vec{u}| \geqq 0$、$a > 0$、$2-\sqrt{2} > 0$ であるから、各辺の正の平方根をとることで題意の不等式が得られる。

$$ (2-\sqrt{2})a \leqq |A\vec{u}| \leqq 2+\sqrt{2} $$

解法2

$|A\vec{u}|^2$ は行列の積を用いて次のように変形できる。

$$ |A\vec{u}|^2 = (A\vec{u}) \cdot (A\vec{u}) = \vec{u}^T A^T A \vec{u} $$

$A$ は対称行列なので $A^T = A$ であり、$A^T A = A^2$ となる。

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1+2a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1+2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2a+2 \\ 2a+2 & 4a^2+4a+2 \end{pmatrix} $$

対称行列 $A^2$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式 $\det(A^2 - \lambda I) = 0$ は以下のようになる。

$$ \begin{vmatrix} 2-\lambda & 2a+2 \\ 2a+2 & 4a^2+4a+2-\lambda \end{vmatrix} = 0 $$

$$ (2-\lambda)(4a^2+4a+2-\lambda) - (2a+2)^2 = 0 $$

$$ \lambda^2 - 4(a^2+a+1)\lambda + 4a^2 = 0 $$

この2次方程式の解を $\lambda_1, \lambda_2$ （$\lambda_1 \geqq \lambda_2$）とすると、二次方程式の解の公式より、

$$ \lambda = 2(a^2+a+1) \pm \sqrt{4(a^2+a+1)^2 - 4a^2} $$

根号の中身は $4(a^2+2a+1)(a^2+1) = 4(a+1)^2(a^2+1)$ と因数分解できるため、

$$ \lambda_1 = 2(a^2+a+1) + 2(a+1)\sqrt{a^2+1} $$

$$ \lambda_2 = 2(a^2+a+1) - 2(a+1)\sqrt{a^2+1} $$

単位ベクトル $\vec{u}$ に対する実対称行列の二次形式 $\vec{u}^T A^2 \vec{u}$ の最大値は最大固有値 $\lambda_1$、最小値は最小固有値 $\lambda_2$ と一致することが知られている。したがって、$|A\vec{u}|^2$ の最大値と最小値はそれぞれ $\lambda_1, \lambda_2$ となる。

（これ以降の $\lambda_1$ の最大値評価、および $\lambda_1 \lambda_2 = 4a^2$ を用いた $\lambda_2$ の最小値評価は解法1と同様のため省略する）

解説

ベクトルの大きさの2乗 $|A\vec{u}|^2$ をパラメータ $\theta$ の式として表し、最大値・最小値を求める典型的な問題である。式変形はやや煩雑であるが、三角関数の2倍角・半角の公式や合成を正確に適用する計算力が問われる。

本問の最大のポイントは、最小値の評価である。ルートを含む式をそのまま評価しようとすると泥沼に陥るが、「最大値と最小値の積（共役な無理数の積）」が非常にシンプルな $4a^2$ になることに気づけば、見通しよく証明できる。

また、解法2で示したように、実対称行列における二次形式の最大・最小が固有値に帰着するという線形代数の知識を持っていると、式変形をショートカットでき、検算にも役立つ。

答え

略（解法1の証明を参照）