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東京大学 2015年理系第6問解説

方針・初手

（1）では、$g(nx)$ が $|x| > \frac{1}{n}$ で $0$ になることに注意し、積分区間を $[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]$ に絞る。不等式の証明は、積分区間において被積分関数の不等式を作ってから積分するという定石に従う。（2）では、$h(x)$ と $g(x)$ の導関数の関係に気づくことが鍵となる。部分積分を用いて積分の形を変形し、（1）の不等式が適用できる形を作り出してから、はさみうちの原理を用いる。

解法1

(1)

$g(x)$ の定義より、$g(nx)$ は $|nx| > 1$ すなわち $|x| > \frac{1}{n}$ のとき $0$ となる。したがって、与えられた積分の積分区間は $[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]$ に制限される。

$$ n \int_{-1}^{1} g(nx) f(x) dx = n \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} g(nx) f(x) dx $$

ここで、$|x| \leqq \frac{1}{n}$ において、$g(nx) = \frac{\cos(\pi nx) + 1}{2}$ であり、$-1 \leqq \cos(\pi nx) \leqq 1$ であるから $g(nx) \geqq 0$ である。また、条件より $|x| \leqq \frac{1}{n}$ において $p \leqq f(x) \leqq q$ が成り立つ。各辺に $g(nx) \geqq 0$ を掛けると、

$$ p g(nx) \leqq g(nx) f(x) \leqq q g(nx) $$

この不等式を $-\frac{1}{n}$ から $\frac{1}{n}$ まで積分すると、

$$ \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} p g(nx) dx \leqq \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} g(nx) f(x) dx \leqq \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} q g(nx) dx $$

各辺に $n$ ($n > 0$) を掛けて、

$$ p \cdot n \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} g(nx) dx \leqq n \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} g(nx) f(x) dx \leqq q \cdot n \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} g(nx) dx $$

ここで、$n \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} g(nx) dx$ を計算する。$t = nx$ と置換すると、$dt = n dx$ であり、積分区間は $-1 \leqq t \leqq 1$ となる。

$$ \begin{aligned} n \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} g(nx) dx &= \int_{-1}^{1} g(t) dt \\ &= \int_{-1}^{1} \frac{\cos(\pi t) + 1}{2} dt \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{\pi} \sin(\pi t) + t \right]_{-1}^{1} \\ &= \frac{1}{2} \{ (0 + 1) - (0 - 1) \} \\ &= 1 \end{aligned} $$

したがって、

$$ p \leqq n \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} g(nx) f(x) dx \leqq q $$

すなわち、

$$ p \leqq n \int_{-1}^{1} g(nx) f(x) dx \leqq q $$

が示された。

(2)

$|x| < 1$ において、$g(x)$ を微分すると、

$$ g'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\cos(\pi x) + 1}{2} \right) = -\frac{\pi}{2} \sin(\pi x) $$

となり、$h(x) = g'(x)$ が成り立つ（$|x| > 1$ では $h(x) = 0, g'(x) = 0$ であり、$|x| = 1$ は積分値に影響しない）。求める極限の式にある積分を、部分積分を用いて変形する。 $h(nx) = g'(nx)$ であり、合成関数の微分より $\frac{d}{dx} g(nx) = n g'(nx) = n h(nx)$ となることに注意する。

$$ \begin{aligned} n^2 \int_{-1}^{1} h(nx) \log(1 + e^{x+1}) dx &= n \int_{-1}^{1} \{ n h(nx) \} \log(1 + e^{x+1}) dx \\ &= n \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} \left\{ \frac{d}{dx} g(nx) \right\} \log(1 + e^{x+1}) dx \end{aligned} $$

部分積分法を用いると、

$$ \begin{aligned} & n \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} \left\{ \frac{d}{dx} g(nx) \right\} \log(1 + e^{x+1}) dx \\ &= n \left[ g(nx) \log(1 + e^{x+1}) \right]_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} - n \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} g(nx) \frac{d}{dx} \{ \log(1 + e^{x+1}) \} dx \end{aligned} $$

ここで、$g(1) = \frac{\cos \pi + 1}{2} = 0$、$g(-1) = \frac{\cos(-\pi) + 1}{2} = 0$ であるから、

$$ \left[ g(nx) \log(1 + e^{x+1}) \right]_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} = g(1) \log(1 + e^{\frac{1}{n}+1}) - g(-1) \log(1 + e^{-\frac{1}{n}+1}) = 0 $$

また、$\frac{d}{dx} \{ \log(1 + e^{x+1}) \} = \frac{e^{x+1}}{1 + e^{x+1}}$ であるから、

$$ n^2 \int_{-1}^{1} h(nx) \log(1 + e^{x+1}) dx = - n \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} g(nx) \frac{e^{x+1}}{1 + e^{x+1}} dx = - n \int_{-1}^{1} g(nx) \frac{e^{x+1}}{1 + e^{x+1}} dx $$

ここで、$f(x) = \frac{e^{x+1}}{1 + e^{x+1}}$ とおく。$f(x)$ はすべての実数で連続である。 $f(x) = 1 - \frac{1}{1 + e^{x+1}}$ より、$f(x)$ は単調増加関数である。したがって、$|x| \leqq \frac{1}{n}$ すなわち $-\frac{1}{n} \leqq x \leqq \frac{1}{n}$ において、

$$ f\left(-\frac{1}{n}\right) \leqq f(x) \leqq f\left(\frac{1}{n}\right) $$

が成り立つ。（1）の結果を用いると、

$$ f\left(-\frac{1}{n}\right) \leqq n \int_{-1}^{1} g(nx) f(x) dx \leqq f\left(\frac{1}{n}\right) $$

ここで、$n \to \infty$ の極限をとると、関数 $f(x)$ の連続性より、

$$ \lim_{n \to \infty} f\left(-\frac{1}{n}\right) = f(0) = \frac{e}{1+e} $$

$$ \lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right) = f(0) = \frac{e}{1+e} $$

となるので、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} n \int_{-1}^{1} g(nx) f(x) dx = \frac{e}{1+e} $$

よって、求める極限は、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} n^2 \int_{-1}^{1} h(nx) \log(1 + e^{x+1}) dx &= \lim_{n \to \infty} \left( - n \int_{-1}^{1} g(nx) f(x) dx \right) \\ &= -\frac{e}{1+e} \end{aligned} $$

解説

本問は、ディラックのデルタ関数の近似列（近似デルタ関数）と呼ばれる概念を背景とした問題である。（1）は、被積分関数 $n g(nx)$ が $x=0$ の近傍でのみ値を持ち、その定積分が $1$ になることを用いて、$f(x)$ の平均値を評価する手法である。（2）は、関数 $h(x)$ と $g(x)$ の導関数の関係に気づくことが重要である。部分積分により、与えられた積分を（1）で証明した不等式が使える形（$n g(nx)$ と関数の積）に帰着させ、はさみうちの原理を用いて極限を求める。関数の単調性から最大値と最小値を評価してはさみうちの原理に繋げる流れは、極限の難問において頻出の処理である。