トップ› 東京大学› 1992年› 文系第1問

東京大学 1992年文系第1問解説

方針・初手

「$2$次方程式」ではなく「$x$ についての方程式」と与えられているため、まずは $x^2$ の係数 $p$ が $0$ かどうかで場合分けを行う必要がある。 $p \neq 0$ の場合は実数係数の $2$次方程式となるため、解が実数（重解を含む）の場合と虚数の場合で考えるか、あるいは解と係数の関係を用いてすべての解の実部が負となる条件を立式する。

解法1

$x$ についての方程式 $px^2 + (p^2 - q)x - (2p - q - 1) = 0$ において、$x^2$ の係数 $p$ が $0$ かどうかで場合分けをする。

(i)

$p = 0$ のとき

与えられた方程式は $-qx + q + 1 = 0$ となる。

$q = 0$ のときは $1 = 0$ となり解をもたないため不適。

$q \neq 0$ のとき、方程式はただ $1$つの実数解 $x = \frac{q+1}{q}$ をもつ。この解の実部は解自身であり、それが負となる条件は

$$ \frac{q+1}{q} < 0 $$

これを解いて

$$ -1 < q < 0 $$

(ii)

$p \neq 0$ のとき

与えられた方程式は実数係数の $2$次方程式となる。$2$つの解を $\alpha, \beta$ とし、判別式を $D$ とする。

$D \ge 0$ のとき

解 $\alpha, \beta$ は実数である。すべての解の実部（解自身）が負となる条件は、$\alpha < 0$ かつ $\beta < 0$ であり、解と係数の関係からこれは

$$ \alpha + \beta < 0 \quad \text{かつ} \quad \alpha \beta > 0 $$

と同値である。

$D < 0$ のとき

解 $\alpha, \beta$ は互いに共役な虚数となり、$\alpha = s + ti, \beta = s - ti$（$s, t$ は実数，$t \neq 0$）とおける。すべての解の実部が負となる条件は $s < 0$ である。ここで、$\alpha + \beta = 2s$ より、$s < 0$ は $\alpha + \beta < 0$ と同値である。また、$\alpha \beta = s^2 + t^2 > 0$ は常に成り立つ。したがって、条件は

$$ \alpha + \beta < 0 \quad \text{かつ} \quad \alpha \beta > 0 $$

に帰着される。

以上より、$D$ の符号によらず、すべての解の実部が負となる条件は $\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ である。解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = -\frac{p^2 - q}{p} $$

$$ \alpha \beta = \frac{-(2p - q - 1)}{p} = \frac{-2p + q + 1}{p} $$

であるから、求める条件は

$$ \frac{p^2 - q}{p} > 0 \quad \cdots (1) $$

$$ \frac{-2p + q + 1}{p} > 0 \quad \cdots (2) $$

(1)より $p(p^2 - q) > 0$ であるから、

$p > 0$ のとき $q < p^2$
$p < 0$ のとき $q > p^2$

(2)より $p(-2p + q + 1) > 0$ であるから、

$p > 0$ のとき $q > 2p - 1$
$p < 0$ のとき $q < 2p - 1$

これらをまとめると、

$p > 0$ のとき $2p - 1 < q < p^2$

$p < 0$ のとき $p^2 < q < 2p - 1$

ここで、$p^2 - (2p - 1) = (p - 1)^2 \ge 0$ より、すべての実数 $p$ において $p^2 \ge 2p - 1$ が成り立つ（等号成立は $p = 1$ のとき）。したがって、$p < 0$ のときに $p^2 < 2p - 1$ を満たす実数 $q$ は存在しない。 $p > 0$ のときは、$p \neq 1$ において $2p - 1 < p^2$ となる。よって、条件を満たす範囲は

$$ 2p - 1 < q < p^2 \quad (p > 0 \text{ かつ } p \neq 1) $$

（i）, （ii）より、求める実数の組 $(p, q)$ の範囲は

$$ p = 0 \text{ のとき } -1 < q < 0 $$

$$ p > 0 \text{ かつ } p \neq 1 \text{ のとき } 2p - 1 < q < p^2 $$

これを $pq$ 平面上に図示すると、放物線 $q = p^2$ と直線 $q = 2p - 1$ は点 $(1, 1)$ で接することに注意して描くことができる。

解説

「$2$次方程式」ではなく「$x$ についての方程式」とあるため、最高次係数 $p=0$ の場合分けを忘れないことが第一のポイントである。 $2$次方程式の解の実部に関する条件は、判別式 $D$ の符号で場合分けして考えるのが定石だが、実数係数方程式においては「すべての解の実部が負」という条件が $D$ の符号によらず「和が負、かつ積が正」に帰着されることを利用すると記述が簡潔になる。