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東京大学 2023年理系第4問解説

方針・初手

（1）与えられた内積の条件を成分で立式し、連立方程式を解く。

（2）点 $H$ が直線 $AB$ 上にある条件と、$\overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ となる条件から、点 $H$ の位置を決定する。

（3）球面 $S$ が三角形 $OHB$ と共有点を持つための条件は、中心 $Q$ から三角形 $OHB$ 上の点までの距離の最小値と最大値の間に、半径 $r$ が含まれることである。三角形 $OHB$ 上の点を2つの変数で表し、距離の2乗の最大・最小問題に帰着させる。

解法1

(1)

$\overrightarrow{OA} = (2, 0, 0)$ $\overrightarrow{OB} = (1, 1, 1)$ $\overrightarrow{OC} = (1, 2, 3)$ 点 $P$ の座標を $(x, y, z)$ とおくと、$\overrightarrow{OP} = (x, y, z)$ である。

条件より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = 0 &\iff 2x = 0 \\ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 &\iff x + y + z = 0 \\ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OC} = 1 &\iff x + 2y + 3z = 1 \end{aligned} $$

第1式より $x = 0$。これを第2式、第3式に代入すると、

$$ \begin{aligned} y + z &= 0 \\ 2y + 3z &= 1 \end{aligned} $$

$y = -z$ を $2y + 3z = 1$ に代入して、$-2z + 3z = 1 \iff z = 1$。よって $y = -1$。ゆえに、求める点 $P$ の座標は $(0, -1, 1)$ である。

(2)

点 $H$ は直線 $AB$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{AH} = t\overrightarrow{AB}$ と表せる。

$$ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{AB} $$

ここで、

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (1, 1, 1) - (2, 0, 0) = (-1, 1, 1) $$

また、$PH \perp AB$ より $\overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ である。 $\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP} = (2, 0, 0) - (0, -1, 1) = (2, 1, -1)$ を用いて $\overrightarrow{PH}$ を表すと、

$$ \overrightarrow{PH} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{PA} + t\overrightarrow{AB} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} (\overrightarrow{PA} + t\overrightarrow{AB}) \cdot \overrightarrow{AB} &= 0 \\ \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{AB} + t|\overrightarrow{AB}|^2 &= 0 \end{aligned} $$

内積と大きさを計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{AB} &= 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = -2 \\ |\overrightarrow{AB}|^2 &= (-1)^2 + 1^2 + 1^2 = 3 \end{aligned} $$

これらを代入して、

$$ -2 + 3t = 0 \iff t = \frac{2}{3} $$

ゆえに、

$$ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} $$

(3)

点 $Q$ の位置ベクトルは、

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP} = \frac{3}{4}(2, 0, 0) + (0, -1, 1) = \left(\frac{3}{2}, -1, 1\right) $$

三角形 $OHB$ は $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ が張る平面上にある。三角形 $OHB$ 上の任意の点 $R$ の位置ベクトルは、実数 $s, u$ を用いて $\overrightarrow{OR} = s\overrightarrow{OA} + u\overrightarrow{OB}$ と表せる。成分で表すと、

$$ \overrightarrow{OR} = s(2, 0, 0) + u(1, 1, 1) = (2s+u, u, u) $$

ここで、$x = 2s+u, y = u$ とおくと、$\overrightarrow{OR} = (x, y, y)$ となる。点 $R$ が三角形 $OHB$ の周および内部にあるための条件を、$(x, y)$ 平面上の領域 $D$ として求める。各頂点 $O, H, B$ に対応する $(x, y)$ は、

$O(0, 0, 0) \implies (0, 0)$
$B(1, 1, 1) \implies (1, 1)$
$\overrightarrow{OH} = (\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}) \implies (\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

したがって、領域 $D$ はこれら3点を頂点とする三角形の周および内部であり、以下の連立不等式で表される。

線分 $OB$ の右下：$y \le x$
線分 $OH$ の左上：$y \ge \frac{1}{2}x$
線分 $BH$ の左下：$x + y \le 2$

点 $Q$ と点 $R$ の距離の2乗を $f(x, y)$ とすると、

$$ \begin{aligned} f(x, y) &= |\overrightarrow{QR}|^2 = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + (y - (-1))^2 + (y - 1)^2 \\ &= \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + 2y^2 + 2 \end{aligned} $$

球面 $S$ が三角形 $OHB$ と共有点を持つための条件は、領域 $D$ における $f(x, y)$ の最小値を $m$、最大値を $M$ としたとき、$m \le r^2 \le M$ が成り立つことである。 $f(x, y)$ は $x = \frac{3}{2}, y = 0$ で最小値をとるが、点 $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ は領域 $D$ の外部にあるため、最大値と最小値は領域の境界線上にある。

（i）線分 $OH$ 上 ($y = \frac{1}{2}x$, $0 \le x \le \frac{4}{3}$ つまり $0 \le y \le \frac{2}{3}$)

$$ g_1(y) = f(2y, y) = \left(2y - \frac{3}{2}\right)^2 + 2y^2 + 2 = 6\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{11}{4} $$

$0 \le y \le \frac{2}{3}$ より、$y = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{11}{4}$、$y = 0$ のとき最大値 $\frac{17}{4}$ をとる。

（ii）線分 $OB$ 上 ($y = x$, $0 \le y \le 1$)

$$ g_2(y) = f(y, y) = \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 + 2y^2 + 2 = 3\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{2} $$

$0 \le y \le 1$ より、$y = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{7}{2}$、$y = 0, 1$ のとき最大値 $\frac{17}{4}$ をとる。

（iii）線分 $BH$ 上 ($x + y = 2$, $\frac{2}{3} \le y \le 1$)

$$ g_3(y) = f(2-y, y) = \left(\frac{1}{2} - y\right)^2 + 2y^2 + 2 = 3\left(y - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{13}{6} $$

$\frac{2}{3} \le y \le 1$ において単調増加であり、$y = \frac{2}{3}$ のとき最小値 $\frac{35}{12}$、$y = 1$ のとき最大値 $\frac{17}{4}$ をとる。

以上（i）, （ii）, （iii）より、領域 $D$ における $f(x, y)$ の最小値は $\frac{11}{4}$、最大値は $\frac{17}{4}$ である。したがって、求める $r$ の範囲は $\frac{11}{4} \le r^2 \le \frac{17}{4}$ を解いて、

$$ \frac{\sqrt{11}}{2} \le r \le \frac{\sqrt{17}}{2} $$