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北海道大学 1963年文系第8問解説

方針・初手

2曲線の交点の $x$ 座標を求め、指定された範囲内で積分区間とグラフの上下関係を決定する。その後、回転体の体積を求める公式 $V = \pi \int \{ (\text{上側の曲線})^2 - (\text{下側の曲線})^2 \} dx$ に当てはめ、三角関数の半角・倍角の公式を用いて被積分関数の次数を下げてから積分を計算する。

解法1

$y = \sin x$ と $y = \sin 2x$ の交点の $x$ 座標を求める。

$$ \sin 2x = \sin x $$

2倍角の公式より、

$$ 2 \sin x \cos x - \sin x = 0 $$

$$ \sin x (2 \cos x - 1) = 0 $$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲においてこれを解くと、$\sin x = 0$ または $\cos x = \frac{1}{2}$ より、

$$ x = 0, \frac{\pi}{3} $$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ の範囲では、$\cos x \geqq \frac{1}{2}$ かつ $\sin x \geqq 0$ であるから、

$$ \sin 2x - \sin x = \sin x (2 \cos x - 1) \geqq 0 $$

となるため、$y = \sin 2x$ のグラフが $y = \sin x$ のグラフの上側（または境界上）にある。

また、$\frac{\pi}{3} < x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲では2つのグラフは交わらないため、この範囲で「2つのグラフによって囲まれる図形」は存在しない。したがって、題意の図形は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ の範囲にのみ存在する。

求める回転体の体積を $V$ とすると、

$$ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \{ (\sin 2x)^2 - (\sin x)^2 \} dx $$

となる。

被積分関数を半角の公式を用いて次数を下げて変形する。

$$ \begin{aligned} \sin^2 2x - \sin^2 x &= \frac{1 - \cos 4x}{2} - \frac{1 - \cos 2x}{2} \\ &= \frac{1}{2} (\cos 2x - \cos 4x) \end{aligned} $$

したがって、体積 $V$ は以下のように計算できる。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2} (\cos 2x - \cos 4x) dx \\ &= \frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{4} \sin 4x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{\pi}{2} \left( \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{4} \sin \frac{4\pi}{3} \right) \end{aligned} $$

ここで、$\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$$ \begin{aligned} V &= \frac{\pi}{2} \left\{ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right\} \\ &= \frac{\pi}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \\ &= \frac{\pi}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{16} \pi \end{aligned} $$

解説

三角関数のグラフによって囲まれる図形の回転体の体積を求める典型問題である。まずグラフの上下関係と積分区間を把握するために交点を求めることが必須となる。問題文の $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ という条件から、囲まれる図形が $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ の部分に限定されることに注意したい。積分の計算では、$\sin^2 \theta$ などの2次の三角関数が現れるため、半角の公式を用いて1次式に次数下げを行うのが定石である。符号の扱いや係数の計算ミスをしないよう、丁寧に公式を適用することが求められる。