名古屋大学 1963年 理系 第6問 解説

方針・初手

2曲線 $y = \sin x$ と $y = \sin 2x$ によって囲まれた部分の面積を求めるため、まずはこれらの方程式を連立して交点の $x$ 座標を求めます。交点を境に曲線の上下関係が入れ替わるため、各区間における大小関係を調べ、絶対値を含んだ定積分の式を立てます。問題文の「グラフをかき」という要求に応えるためにも、交点と上下関係の把握は不可欠です。

解法1

2曲線 $y = \sin x$ と $y = \sin 2x$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $\sin 2x = \sin x$ の解である。2倍角の公式を用いて変形すると、 $$ \sin 2x - \sin x = 0 $$ $$ 2\sin x \cos x - \sin x = 0 $$ $$ \sin x (2\cos x - 1) = 0 $$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ の範囲において、これを解く。 $\sin x = 0$ より、$x = 0, \pi, 2\pi$ $\cos x = \frac{1}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ したがって、交点の $x$ 座標は小さい順に $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}, 2\pi$ となる。

次に、各区間における曲線の上下関係を調べるために、差の関数 $f(x) = \sin 2x - \sin x = \sin x (2\cos x - 1)$ の符号を調べる。

• $0 < x < \frac{\pi}{3}$ のとき、$\sin x > 0$ かつ $\cos x > \frac{1}{2}$ なので、$f(x) > 0$ （$\sin 2x > \sin x$）
• $\frac{\pi}{3} < x < \pi$ のとき、$\sin x > 0$ かつ $\cos x < \frac{1}{2}$ なので、$f(x) < 0$ （$\sin 2x < \sin x$）
• $\pi < x < \frac{5\pi}{3}$ のとき、$\sin x < 0$ かつ $\cos x < \frac{1}{2}$ なので、$f(x) > 0$ （$\sin 2x > \sin x$）
• $\frac{5\pi}{3} < x < 2\pi$ のとき、$\sin x < 0$ かつ $\cos x > \frac{1}{2}$ なので、$f(x) < 0$ （$\sin 2x < \sin x$）

以上によりグラフの概形が把握できる。求める総面積 $S$ は、区間ごとに上下関係に注意して定積分を計算すればよく、 $$ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 2x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} (\sin x - \sin 2x) dx + \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{3}} (\sin 2x - \sin x) dx + \int_{\frac{5\pi}{3}}^{2\pi} (\sin x - \sin 2x) dx $$ となる。ここで、計算を簡略化するために不定積分 $F(x) = \int (\sin 2x - \sin x) dx$ を求めておく。 $$ F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + \cos x $$

各交点における $F(x)$ の値を計算する。 $$ \begin{aligned} F(0) &= -\frac{1}{2} \cdot 1 + 1 = \frac{1}{2} \\ F\left(\frac{\pi}{3}\right) &= -\frac{1}{2} \cos\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \\ F(\pi) &= -\frac{1}{2} \cos 2\pi + \cos \pi = -\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 = -\frac{3}{2} \\ F\left(\frac{5\pi}{3}\right) &= -\frac{1}{2} \cos\frac{10\pi}{3} + \cos\frac{5\pi}{3} = -\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \\ F(2\pi) &= -\frac{1}{2} \cos 4\pi + \cos 2\pi = -\frac{1}{2} \cdot 1 + 1 = \frac{1}{2} \end{aligned} $$

これらを用いて総面積 $S$ を計算する。 $$ \begin{aligned} S &= \left[ F(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \left[ F(x) \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} + \left[ F(x) \right]_{\pi}^{\frac{5\pi}{3}} - \left[ F(x) \right]_{\frac{5\pi}{3}}^{2\pi} \\ &= \left( F\left(\frac{\pi}{3}\right) - F(0) \right) - \left( F(\pi) - F\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) + \left( F\left(\frac{5\pi}{3}\right) - F(\pi) \right) - \left( F(2\pi) - F\left(\frac{5\pi}{3}\right) \right) \\ &= \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{3}{2} - \frac{3}{4} \right) + \left( \frac{3}{4} - \left(-\frac{3}{2}\right) \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \right) \\ &= \frac{1}{4} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4} + \frac{1}{4} \\ &= 5 \end{aligned} $$

解法2

交点の $x$ 座標および各区間の上下関係の把握までは解法1と同様である。ここで、2曲線の対称性に注目して計算量を減らす方法を示す。

点 $(X, Y)$ を点 $(\pi, 0)$ に関して対称移動した点は $(2\pi - X, -Y)$ である。 曲線 $y = \sin x$ について、$x$ に $2\pi - x$ を代入すると、 $$ \sin(2\pi - x) = -\sin x = -y $$ となり、点 $(\pi, 0)$ に関して点対称である。 同様に、曲線 $y = \sin 2x$ について、$x$ に $2\pi - x$ を代入すると、 $$ \sin 2(2\pi - x) = \sin(4\pi - 2x) = -\sin 2x = -y $$ となり、こちらも点 $(\pi, 0)$ に関して点対称である。

両方の曲線が点 $(\pi, 0)$ に関して点対称であるため、これらによって囲まれた図形全体も点 $(\pi, 0)$ に関して点対称となる。したがって、求める総面積 $S$ は、$0 \leqq x \leqq \pi$ の範囲の面積を 2 倍することで求められる。 $$ \begin{aligned} S &= 2 \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 2x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} (\sin x - \sin 2x) dx \right) \\ &= 2 \left( \left[ -\frac{1}{2}\cos 2x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \left[ -\frac{1}{2}\cos 2x + \cos x \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \right) \\ &= 2 \left( \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{3}{2} - \frac{3}{4} \right) \right) \\ &= 2 \left( \frac{1}{4} + \frac{9}{4} \right) \\ &= 5 \end{aligned} $$

解説

三角関数のグラフによって囲まれた面積を求める標準的な問題です。面積計算の基本通り、交点を正しく求め、区間ごとの上下関係を正確に把握して定積分を立式することが求められます。

定積分の項数が多くなるため、解法1のように不定積分を関数 $F(x)$ として置いてから数値を代入して計算すると、符号ミスや計算ミスを減らすことができます。また、解法2のように図形の対称性（本問では点 $(\pi, 0)$ に関する点対称性）に気づくことができれば、計算量を半分に減らすことができ非常に有効です。三角関数の問題では、周期性や対称性が計算の負担軽減に役立つことが多いので、常に意識しておくとよいでしょう。

答え

$5$