名古屋大学 1963年 文系 第7問 解説

方針・初手

2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \sin 2x$ の交点の $x$ 座標を求め、各区間におけるグラフの上下関係を把握する。グラフの概形を描くために必要な交点の座標と上下関係を明確にしたうえで、囲まれた部分の面積を定積分を用いて計算する。

解法1

まず、2曲線の交点の $x$ 座標を求める。

$$ \sin 2x = \sin x $$

2倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ より、

$$ 2\sin x \cos x - \sin x = 0 $$

$$ \sin x (2\cos x - 1) = 0 $$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ の範囲でこの方程式を解くと、$\sin x = 0$ または $\cos x = \frac{1}{2}$ となるため、

$$ x = 0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}, 2\pi $$

これが交点の $x$ 座標である。次に、これらの交点で区切られた各区間において、$\sin 2x - \sin x$ の符号を調べ、グラフの上下関係を決定する。

($0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ のとき)

$\sin x \geqq 0$ かつ $2\cos x - 1 \geqq 0$ であるから、$\sin 2x \geqq \sin x$ となる。

($\frac{\pi}{3} \leqq x \leqq \pi$ のとき)

$\sin x \geqq 0$ かつ $2\cos x - 1 \leqq 0$ であるから、$\sin x \geqq \sin 2x$ となる。

($\pi \leqq x \leqq \frac{5\pi}{3}$ のとき)

$\sin x \leqq 0$ かつ $2\cos x - 1 \leqq 0$ であるから、$\sin 2x \geqq \sin x$ となる。

($\frac{5\pi}{3} \leqq x \leqq 2\pi$ のとき)

$\sin x \leqq 0$ かつ $2\cos x - 1 \geqq 0$ であるから、$\sin x \geqq \sin 2x$ となる。

これらの情報から、$y = \sin x$ および $y = \sin 2x$ のグラフは $0 \leqq x \leqq 2\pi$ において $4$ つの領域を囲むことがわかる。求める総面積を $S$ とおくと、

$$ \begin{aligned} S &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 2x - \sin x) \,dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} (\sin x - \sin 2x) \,dx \\ &\quad + \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{3}} (\sin 2x - \sin x) \,dx + \int_{\frac{5\pi}{3}}^{2\pi} (\sin x - \sin 2x) \,dx \end{aligned} $$

それぞれの定積分を計算する。

第1項：

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 2x - \sin x) \,dx &= \left[ -\frac{1}{2}\cos 2x + \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \left( -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) \\ &= \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \end{aligned} $$

第2項：

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} (\sin x - \sin 2x) \,dx &= \left[ -\cos x + \frac{1}{2}\cos 2x \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \\ &= \left( 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \\ &= \frac{3}{2} - \left( -\frac{3}{4} \right) = \frac{9}{4} \end{aligned} $$

第3項：

$$ \begin{aligned} \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{3}} (\sin 2x - \sin x) \,dx &= \left[ -\frac{1}{2}\cos 2x + \cos x \right]_{\pi}^{\frac{5\pi}{3}} \\ &= \left( -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \right) \\ &= \frac{3}{4} - \left( -\frac{3}{2} \right) = \frac{9}{4} \end{aligned} $$

第4項：

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{5\pi}{3}}^{2\pi} (\sin x - \sin 2x) \,dx &= \left[ -\cos x + \frac{1}{2}\cos 2x \right]_{\frac{5\pi}{3}}^{2\pi} \\ &= \left( -1 + \frac{1}{2} \cdot 1 \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \\ &= -\frac{1}{2} - \left( -\frac{3}{4} \right) = \frac{1}{4} \end{aligned} $$

以上より、求める総面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{20}{4} = 5 $$

解法2

被積分関数の対称性に着目する。求める面積 $S$ は次のように表される。

$$ S = \int_{0}^{2\pi} |\sin 2x - \sin x| \,dx $$

積分区間を $0 \leqq x \leqq \pi$ と $\pi \leqq x \leqq 2\pi$ に分割し、後半の積分について $x = 2\pi - t$ と置換する。

$$ dx = -dt $$

$x$ が $\pi$ から $2\pi$ まで変化するとき、$t$ は $\pi$ から $0$ まで変化する。したがって、

$$ \begin{aligned} \int_{\pi}^{2\pi} |\sin 2x - \sin x| \,dx &= \int_{\pi}^{0} |\sin(4\pi - 2t) - \sin(2\pi - t)| \,(-dt) \\ &= \int_{0}^{\pi} |-\sin 2t - (-\sin t)| \,dt \\ &= \int_{0}^{\pi} |-\sin 2t + \sin t| \,dt \\ &= \int_{0}^{\pi} |\sin 2t - \sin t| \,dt \end{aligned} $$

これは前半の積分と一致する。すなわち、点 $(\pi, 0)$ に関してグラフが点対称な性質を持つため、囲まれた部分の図形も $x = \pi$ を境に合同となる。ゆえに、面積は前半の区間の $2$ 倍として計算できる。

$$ S = 2 \int_{0}^{\pi} |\sin 2x - \sin x| \,dx $$

解法1の第1項と第2項の結果を用いると、

$$ S = 2 \left( \frac{1}{4} + \frac{9}{4} \right) = 2 \times \frac{10}{4} = 5 $$

解説

三角関数のグラフによって囲まれた面積を求める基本的な問題である。グラフの上下関係を正確に把握するために、交点の座標を漏れなく求めることが第一歩となる。

グラフの概形自体は、求めた交点を結び、符号変化に応じて上下を描き分けることで得られる。本解答ではMarkdownでの出力都合上、グラフの図そのものは省略しているが、答案作成の際には概略図を描くことで計算ミスを防ぎやすくなる。

解法2で示したように、$\sin x$ と $\sin 2x$ の組み合わせは対称性（ここでは $x=\pi$ を中心とした図形の反転）を持つため、置換積分を用いて計算量を半分に減らすことができる。試験本番では、このような定積分の性質に気づけると時間の節約につながる。

答え

$5$