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北海道大学 2013年理系第1問解説

方針・初手

2つのグラフ $y = a \cos x$ と $y = b \sin x$ の交点 $P$ の座標を三角関数と定数 $a, b$ を用いて表すことから始める。面積 $S, T$ はそれぞれの区間における上下関係を把握し、定積分を計算する。その際、(1) で求めた交点の座標の情報を用いて式を簡略化する。

解法1

(1)

点 $P$ は $C_1$ と $C_2$ の交点であり、その $x$ 座標が $t$ であるから

$$ a \cos t = b \sin t $$

が成り立つ。ここで、$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、もし $\cos t = 0$ とすると $t = \frac{\pi}{2}$ となる。このとき $b \sin \frac{\pi}{2} = b$ であり、$a, b$ は正の実数であるから $0 = b$ となり矛盾する。したがって $\cos t \neq 0$ であり、両辺を $b \cos t$ で割ると

$$ \tan t = \frac{a}{b} $$

$a > 0, b > 0$ であるから $\tan t > 0$ であり、$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ より $0 < t < \frac{\pi}{2}$ である。このとき $\sin t > 0, \cos t > 0$ である。三角関数の相互関係 $1 + \tan^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$ を用いると

$$ \frac{1}{\cos^2 t} = 1 + \left( \frac{a}{b} \right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{b^2} $$

$\cos t > 0$ より

$$ \cos t = \sqrt{\frac{b^2}{a^2 + b^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

また、$\sin t = \tan t \cdot \cos t$ より

$$ \sin t = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

(2)

$0 \leqq x \leqq t$ の範囲において、$a \cos x \geqq b \sin x$ である。すなわち、グラフ $C_1$ は $C_2$ の上側または境界上にある。したがって、面積 $S$ は

$$ S = \int_{0}^{t} (a \cos x - b \sin x) dx $$

$$ S = \left[ a \sin x + b \cos x \right]_{0}^{t} $$

$$ S = (a \sin t + b \cos t) - (a \sin 0 + b \cos 0) $$

$$ S = a \sin t + b \cos t - b $$

(1) の結果を代入すると

$$ S = a \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) + b \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) - b $$

$$ S = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} - b $$

$$ S = \sqrt{a^2 + b^2} - b $$

(3)

$t \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$b \sin x \geqq a \cos x$ である。すなわち、グラフ $C_2$ は $C_1$ の上側または境界上にある。したがって、面積 $T$ は

$$ T = \int_{t}^{\frac{\pi}{2}} (b \sin x - a \cos x) dx $$

$$ T = \left[ -b \cos x - a \sin x \right]_{t}^{\frac{\pi}{2}} $$

$$ T = \left( -b \cos \frac{\pi}{2} - a \sin \frac{\pi}{2} \right) - ( -b \cos t - a \sin t ) $$

$$ T = -a + a \sin t + b \cos t $$

ここで、(2) の計算途中において $a \sin t + b \cos t = \sqrt{a^2 + b^2}$ であることが分かっているため

$$ T = \sqrt{a^2 + b^2} - a $$

条件 $T = 2S$ より

$$ \sqrt{a^2 + b^2} - a = 2 \left( \sqrt{a^2 + b^2} - b \right) $$

$$ \sqrt{a^2 + b^2} - a = 2\sqrt{a^2 + b^2} - 2b $$

$$ \sqrt{a^2 + b^2} = 2b - a $$

左辺は $\sqrt{a^2 + b^2} > 0$ であるから、右辺について $2b - a > 0$ である必要がある。この条件のもとで両辺を2乗すると

$$ a^2 + b^2 = (2b - a)^2 $$

$$ a^2 + b^2 = 4b^2 - 4ab + a^2 $$

$$ 3b^2 - 4ab = 0 $$

$$ b(3b - 4a) = 0 $$

$b > 0$ であるから

$$ 3b - 4a = 0 $$

すなわち $4a = 3b$ を得る。このとき、$2b - a = 2b - \frac{3}{4}b = \frac{5}{4}b > 0$ となり、$2b - a > 0$ の条件を満たす。したがって、求める条件は $4a = 3b$ である。

解説

三角関数のグラフの交点と、それらで囲まれた図形の面積を求める典型的な微積分・面積問題である。 (1) で $\sin t, \cos t$ を求める際、$\cos t \neq 0$ を確認したうえで $\tan t$ を経由するのが定石である。あるいは直角三角形の図をイメージすることで、$a$ と $b$ から斜辺 $\sqrt{a^2 + b^2}$ を考え、直ちに導出することもできる。 (3) で得られた等式 $\sqrt{a^2 + b^2} = 2b - a$ の両辺を2乗する際、同値性を崩さないために $2b - a \geqq 0$ の確認を忘れないようにすることが重要である。