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北海道大学 1963年文系第7問解説

方針・初手

半直線 $OX$, $OY$ に接する円の中心は、$\angle XOY$ の二等分線上にあることを利用する。隣り合う2つの円が外接し、かつ $OX$, $OY$ に接していることから、直角三角形を用いて中心間の距離と半径の関係式を立式し、半径 $r_n$ に関する漸化式を導く。

解法1

円 $O_n$ の中心を $C_n$ とする。すべての円は半直線 $OX$, $OY$ に接するため、中心 $C_n$ は $\angle XOY$ の二等分線上にある。

$\angle XOY = 120^\circ$ より、直線 $OC_n$ と半直線 $OX$ のなす角は $60^\circ$ である。円 $O_n$ と半直線 $OX$ の接点を $H_n$ とすると、$\triangle OC_n H_n$ は $\angle OH_n C_n = 90^\circ$ の直角三角形となる。

$C_n H_n = r_n$ であるから、点 $O$ と円 $O_n$ の中心 $C_n$ の距離 $OC_n$ は次のように表せる。

$$ OC_n = \frac{r_n}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} r_n $$

また、円 $O_{n+1}$ は円 $O_n$ より半径が小さく、ともに $\angle XOY$ の内側にあり接するため、中心は点 $O$ に向かって $C_1, C_2, \cdots, C_n, C_{n+1}, \cdots$ の順に並ぶ。円 $O_n$ と円 $O_{n+1}$ は外接するため、中心間の距離は $r_n + r_{n+1}$ となる。

したがって、線分の長さの関係 $OC_n = OC_{n+1} + r_{n+1} + r_n$ が成り立つ。これに距離の式を代入する。

$$ \frac{2}{\sqrt{3}} r_n = \frac{2}{\sqrt{3}} r_{n+1} + r_{n+1} + r_n $$

この式を整理して、$r_{n+1}$ と $r_n$ の関係を求める。

$$ \begin{aligned} \left( \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \right) r_n &= \left( \frac{2}{\sqrt{3}} + 1 \right) r_{n+1} \\ \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} r_n &= \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} r_{n+1} \\ (2 + \sqrt{3}) r_{n+1} &= (2 - \sqrt{3}) r_n \end{aligned} $$

$$ r_{n+1} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} r_n $$

右辺の分母を有理化する。

$$ \begin{aligned} \frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} &= \frac{(2 - \sqrt{3})^2}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} \\ &= \frac{4 - 4\sqrt{3} + 3}{4 - 3} \\ &= 7 - 4\sqrt{3} \end{aligned} $$

ゆえに、数列 $\{ r_n \}$ は初項 $r_1 = 1$、公比 $7 - 4\sqrt{3}$ の等比数列である。

$$ r_n = (7 - 4\sqrt{3})^{n-1} $$

次に、円 $O_n$ の面積 $S_n$ は $S_n = \pi r_n^2$ であるから、これを計算する。

$$ \begin{aligned} S_n &= \pi \left\{ (7 - 4\sqrt{3})^{n-1} \right\}^2 \\ &= \pi \left\{ (7 - 4\sqrt{3})^2 \right\}^{n-1} \\ &= \pi (49 - 56\sqrt{3} + 48)^{n-1} \\ &= \pi (97 - 56\sqrt{3})^{n-1} \end{aligned} $$

数列 $\{ S_n \}$ は初項 $\pi$、公比 $97 - 56\sqrt{3}$ の等比数列である。

ここで、公比について $97^2 = 9409$、$(56\sqrt{3})^2 = 3136 \times 3 = 9408$ より、$0 < 97 - 56\sqrt{3} < 1$ を満たす。

したがって、無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ は収束し、その和は次のように求められる。

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} S_n &= \frac{\pi}{1 - (97 - 56\sqrt{3})} \\ &= \frac{\pi}{56\sqrt{3} - 96} \\ &= \frac{\pi}{8(7\sqrt{3} - 12)} \end{aligned} $$

分母を有理化する。

$$ \begin{aligned} \frac{\pi}{8(7\sqrt{3} - 12)} &= \frac{\pi (7\sqrt{3} + 12)}{8 (147 - 144)} \\ &= \frac{(12 + 7\sqrt{3})\pi}{8 \times 3} \\ &= \frac{(12 + 7\sqrt{3})\pi}{24} \end{aligned} $$

解説

図形に接する円が無限に続く問題は、隣接する2つの円について中心間の距離を2通り（斜辺を用いた三角比からの導出と、半径の和からの導出）で表し、漸化式を立てるのが定石である。今回は角が $120^\circ$ であるため、半角の $60^\circ$ を用いて中心までの距離が $\frac{2}{\sqrt{3}} r_n$ となることを見抜くのが第一歩となる。面積の総和を求める際は、無限等比級数の公式を用いるが、計算ミスを防ぐために公比の評価や有理化の計算を丁寧に行うことが求められる。