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北海道大学 1964年文系第2問解説

方針・初手

(1) は与えられた複素数 $\alpha, \beta$ を関係式に代入し、実部と虚部に分けて比較する。その際、根が虚数であることから虚部が $0$ でないこと（$q \neq 0$）に注意して $p, q$ の値を決定する。 (2) は直接代入して計算することも可能だが、(1) で求めた解の和と積を用いて対称式の値として計算するか、方程式の解であることを利用して次数を下げると計算が簡略化できる。

解法1

(1) 与えられた条件 $\alpha = p+qi, \beta = p-qi$ を $\alpha^2+2\beta=1$ に代入する。

$$ (p+qi)^2 + 2(p-qi) = 1 $$

展開して実部と虚部に整理する。

$$ p^2 - q^2 + 2pqi + 2p - 2qi = 1 $$

$$ (p^2 - q^2 + 2p - 1) + 2q(p - 1)i = 0 $$

$p, q$ は実数であるから、実部と虚部はともに $0$ となる。

$$ \begin{cases} p^2 - q^2 + 2p - 1 = 0 \\ 2q(p - 1) = 0 \end{cases} $$

第2式より $q=0$ または $p=1$ である。ここで、$\alpha, \beta$ は二次方程式の虚根であるため、虚部は $0$ ではない。すなわち $q \neq 0$ である。したがって、$p = 1$ となる。これを第1式に代入して $q$ を求める。

$$ 1^2 - q^2 + 2 \cdot 1 - 1 = 0 $$

$$ q^2 = 2 $$

よって $q = \pm \sqrt{2}$ である。したがって、2つの虚根は $1 + \sqrt{2}i$ と $1 - \sqrt{2}i$ となる。互いに共役な複素数であるため、求める二次方程式は実数係数となる。解の和と積を計算する。

$$ \alpha + \beta = 2p = 2 $$

$$ \alpha\beta = p^2 + q^2 = 1^2 + (\pm \sqrt{2})^2 = 3 $$

これらを解と係数の関係に当てはめると、求める二次方程式は以下のようになる。

$$ x^2 - 2x + 3 = 0 $$

(2) 与式を $\alpha^2$ について整理する。

$$ \alpha^3+\alpha^2\beta+\alpha^2+3\beta^2 = \alpha^2(\alpha + \beta + 1) + 3\beta^2 $$

(1)より解の和は $\alpha + \beta = 2$ であるため、これを代入する。

$$ \alpha^2(2 + 1) + 3\beta^2 = 3\alpha^2 + 3\beta^2 = 3(\alpha^2 + \beta^2) $$

$\alpha^2 + \beta^2$ は対称式であり、基本対称式を用いて次のように変形できる。

$$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta $$

$\alpha + \beta = 2, \alpha\beta = 3$ を代入して値を求める。

$$ \alpha^2 + \beta^2 = 2^2 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 $$

したがって、求める式の値は以下のようになる。

$$ 3(-2) = -6 $$

解法2

(2) の別解（次数下げを用いる方法）

$\alpha, \beta$ は方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の解であるから、以下の関係が成り立つ。

$$ \alpha^2 - 2\alpha + 3 = 0 \iff \alpha^2 = 2\alpha - 3 $$

$$ \beta^2 - 2\beta + 3 = 0 \iff \beta^2 = 2\beta - 3 $$

さらに、これを用いて $\alpha^3$ の次数を下げる。

$$ \alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = \alpha(2\alpha - 3) = 2\alpha^2 - 3\alpha $$

再度 $\alpha^2 = 2\alpha - 3$ を代入する。

$$ \alpha^3 = 2(2\alpha - 3) - 3\alpha = \alpha - 6 $$

これらを与式に代入する。

$$ \alpha^3+\alpha^2\beta+\alpha^2+3\beta^2 = (\alpha - 6) + (2\alpha - 3)\beta + (2\alpha - 3) + 3(2\beta - 3) $$

展開して整理する。

$$ = \alpha - 6 + 2\alpha\beta - 3\beta + 2\alpha - 3 + 6\beta - 9 $$

$$ = 3\alpha + 3\beta + 2\alpha\beta - 18 $$

$$ = 3(\alpha + \beta) + 2\alpha\beta - 18 $$

$\alpha + \beta = 2, \alpha\beta = 3$ を代入して値を計算する。

$$ 3(2) + 2(3) - 18 = 6 + 6 - 18 = -6 $$

解説

(1) では、複素数の相等を用いる際の前提として「$p, q$ が実数であること」を確認することが重要である。また、問題文の「虚根」という条件から $q \neq 0$ を導き、不適な場合を除外する手順を見落とさないように注意が必要である。 (2) は高次式の値の計算の典型問題である。与えられた式の一部を因数分解して対称式の性質を利用する（解法1）か、方程式の解であることを利用して2次以上の項を1次に下げる「次数下げ」を行う（解法2）と、煩雑な複素数の直接計算を避けることができ、計算ミスを防ぐことができる。