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北海道大学 1964年文系第7問解説

方針・初手

2点 $P, Q$ の時刻 $t$ における位置を、それぞれ角速度を用いて偏角として表す。
$\triangle POQ$ に余弦定理を適用し、線分 $PQ$ の長さ $x$ を $t$ の関数として導出する。
(2)においては、指定された条件から $t$ の値を特定し、得られた関数を微分して $x$ の変化率 $\frac{dx}{dt}$ を求める。根号を含む微分の手間を省くため、$x^2$ の式のまま両辺を $t$ で微分する手法が有効である。

(1)

2点 $P, Q$ はそれぞれ半直線上の点 $A, B$ から同時に出発する。 $t$ 秒後において、線分 $OAB$ を基準とした点 $P, Q$ の偏角は、それぞれの角速度を用いて次のように表される。

点 $P$ の偏角：$\frac{1}{3}t$

点 $Q$ の偏角：$\frac{1}{2}t$

線分 $OP$ と $OQ$ のなす角 $\angle POQ$ の大きさは、これら2つの偏角の差の絶対値となる。

$$ \angle POQ = \left| \frac{1}{2}t - \frac{1}{3}t \right| = \left| \frac{t}{6} \right| $$

$0 \leqq t \leqq 10$ の範囲では $\frac{t}{6} \geqq 0$ であるため、なす角はそのまま外すことができる。

$$ \angle POQ = \frac{t}{6} $$

$\triangle POQ$ において、$OP = 3, OQ = 4$ であるから、余弦定理により以下の関係が成り立つ。

$$ PQ^2 = OP^2 + OQ^2 - 2 \cdot OP \cdot OQ \cos(\angle POQ) $$

$x = PQ$ より、式に値を代入して整理する。

$$ x^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos \frac{t}{6} = 25 - 24 \cos \frac{t}{6} $$

距離であるため $x \geqq 0$ であり、平方根をとって関係式を得る。

$$ x = \sqrt{25 - 24 \cos \frac{t}{6}} $$

(2)

(1)において $\angle POQ = \frac{\pi}{2}$ となるのは、以下の等式が成り立つときである。

$$ \frac{t}{6} = \frac{\pi}{2} $$

これを解くと $t = 3\pi$ を得る。 $3\pi \approx 9.42$ であり、これは問題の条件 $0 \leqq t \leqq 10$ を満たしている。

(1)で求めた関係式 $x^2 = 25 - 24 \cos \frac{t}{6}$ の両辺を $t$ で微分する。

$$ 2x \frac{dx}{dt} = -24 \left( -\sin \frac{t}{6} \right) \cdot \frac{1}{6} $$

整理すると以下のようになる。

$$ 2x \frac{dx}{dt} = 4 \sin \frac{t}{6} $$

$$ \frac{dx}{dt} = \frac{2 \sin \frac{t}{6}}{x} $$

$t = 3\pi$ のとき、$\cos \frac{t}{6} = \cos \frac{\pi}{2} = 0$, $\sin \frac{t}{6} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ である。この瞬間の $x$ の値は、(1)の式から求める。

$$ x = \sqrt{25 - 24 \cdot 0} = \sqrt{25} = 5 $$

これらを $\frac{dx}{dt}$ の式に代入して、変化率を求める。

$$ \frac{dx}{dt} = \frac{2 \cdot 1}{5} = \frac{2}{5} $$

円周上を等速円運動する2点の距離を求める典型的な問題である。それぞれの角速度から時刻 $t$ における偏角を求め、中心角の差から余弦定理を用いるのが定石となる。
距離 $x$ の変化率を求める際、関数 $x(t)$ を直接微分すると根号が含まれ計算がやや煩雑になる。$x^2$ の式のまま両辺を $t$ で微分する（陰関数の微分）ことで、計算ミスを減らしスムーズに値を求めることができる。
(2)で求めた時刻 $t = 3\pi$ が、問題文の定義域 $0 \leqq t \leqq 10$ に含まれているかどうかの確認を忘れないようにしたい。