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名古屋大学 1961年理系第4問解説

方針・初手

(1) 速度は位置の1階微分、加速度は位置の2階微分として求められる。

(2) $0 \leqq t \leqq \pi$ における位置 $x$ の最大値と最小値を求める。微分の計算には2倍角の公式を用いて $\cos t$ の関数として整理する。

(3) 速度の式を2乗し、三角関数の半角の公式や積和の公式を用いて次数を下げてから積分を計算する。

解法1

(1) 位置 $x$ は時刻 $t$ の関数として与えられている。

$$x = \sin t + 3 \sin 2t$$

速度を $v$、加速度を $a$ とすると、これらは $x$ を $t$ で微分することで得られる。

$$v = \frac{dx}{dt} = \cos t + 6 \cos 2t$$

$$a = \frac{dv}{dt} = -\sin t - 12 \sin 2t$$

$t=0$ のとき、

$$v = \cos 0 + 6 \cos 0 = 1 + 6 = 7$$

$$a = -\sin 0 - 12 \sin 0 = 0$$

よって、$t=0$ における速度は $7$、加速度は $0$ である。

(2) 点の動く範囲は、$0 \leqq t \leqq \pi$ における $x$ のとりうる値の範囲である。$x$ の増減を調べるため、$v$ の符号を調べる。

$$v = \cos t + 6 \cos 2t$$

2倍角の公式 $\cos 2t = 2 \cos^2 t - 1$ を用いると、

$$ \begin{aligned} v &= \cos t + 6(2 \cos^2 t - 1) \\ &= 12 \cos^2 t + \cos t - 6 \\ &= (4 \cos t + 3)(3 \cos t - 2) \end{aligned} $$

$v = 0$ となるのは $\cos t = -\frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ のときである。$0 \leqq t \leqq \pi$ において $\cos t$ は単調減少であるため、$\cos t = \frac{2}{3}$ を満たす $t$ を $\alpha$、$\cos t = -\frac{3}{4}$ を満たす $t$ を $\beta$ とおくと、$0 < \alpha < \beta < \pi$ が成り立つ。

増減表は以下のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$	$\pi$
$v$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$+$
$x$	$0$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$0$

端点における値は、 $t=0$ のとき $x = 0$ $t=\pi$ のとき $x = \sin \pi + 3 \sin 2\pi = 0$

極値を求めるために、$x = \sin t + 3 \sin 2t = \sin t (1 + 6 \cos t)$ と変形しておく。 $t = \alpha$ のとき、$\cos \alpha = \frac{2}{3}$ であり、$0 < \alpha < \pi$ より $\sin \alpha > 0$ であるから、

$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

よって極大値は、

$$x = \frac{\sqrt{5}}{3} \left(1 + 6 \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot 5 = \frac{5\sqrt{5}}{3}$$

$t = \beta$ のとき、$\cos \beta = -\frac{3}{4}$ であり、$0 < \beta < \pi$ より $\sin \beta > 0$ であるから、

$$\sin \beta = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$

よって極小値は、

$$x = \frac{\sqrt{7}}{4} \left(1 + 6 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\right) = \frac{\sqrt{7}}{4} \left(1 - \frac{9}{2}\right) = -\frac{7\sqrt{7}}{8}$$

したがって、$x$ の最大値は $\frac{5\sqrt{5}}{3}$、最小値は $-\frac{7\sqrt{7}}{8}$ である。求める点の動く範囲は、

$$-\frac{7\sqrt{7}}{8} \leqq x \leqq \frac{5\sqrt{5}}{3}$$

(3) (1) より $v = \cos t + 6 \cos 2t$ である。これを2乗して展開する。

$$ \begin{aligned} v^2 &= (\cos t + 6 \cos 2t)^2 \\ &= \cos^2 t + 12 \cos t \cos 2t + 36 \cos^2 2t \end{aligned} $$

半角の公式および積和の公式を用いて変形する。

$$ \begin{aligned} \cos^2 t &= \frac{1 + \cos 2t}{2} \\ \cos t \cos 2t &= \frac{1}{2}(\cos 3t + \cos t) \\ \cos^2 2t &= \frac{1 + \cos 4t}{2} \end{aligned} $$

これらを積分に代入する。

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi v^2 dt &= \int_0^\pi \left( \frac{1 + \cos 2t}{2} + 6(\cos 3t + \cos t) + 18(1 + \cos 4t) \right) dt \\ &= \int_0^\pi \left( \frac{37}{2} + 6 \cos t + \frac{1}{2} \cos 2t + 6 \cos 3t + 18 \cos 4t \right) dt \\ &= \left[ \frac{37}{2}t + 6 \sin t + \frac{1}{4} \sin 2t + 2 \sin 3t + \frac{9}{2} \sin 4t \right]_0^\pi \\ &= \frac{37}{2}\pi \end{aligned} $$

解説

直線上の運動と微分積分に関する標準的な問題である。

(2)の最大値・最小値の計算では、増減表のプラスマイナスを正しく判定することと、極値を計算する際に $\sin t$ と $\cos t$ の関係式を利用して計算量を減らす工夫が有効である。

(3)の三角関数の積分は、2乗の展開後に「2乗は半角の公式で次数下げ」「積は積和の公式で和の形にする」という定石に従って処理すればよい。また、積分区間が $[0, \pi]$ であるため、$\cos nt$ ( $n$ は正の整数) の積分が $0$ になることを利用すると、定数項以外は消えると見越して計算を大幅に短縮することも可能である。