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北海道大学 1967年文系第5問解説

方針・初手

複素数平面上での図形的な意味を考えるのが簡明である。

条件 $|z|=1$ は、原点を中心とする半径 $1$ の円を表す。

$w = z - 2$ とおくと、これは点 $z$ を実軸方向に $-2$ だけ平行移動したものであり、式を変形すると $|w+2|=1$ となる。これは点 $-2$ を中心とする半径 $1$ の円を表す。

この円上の点 $w$ について、原点からの距離 $|w|$ の範囲と、原点からの偏角の範囲を図形的に求める方針をとる。

解法1

$w = z-2$ とおく。

条件 $|z|=1$ より、

$$ |w+2| = 1 $$

が成り立つ。これは、複素数平面上で点 $w$ が、点 $-2$ を中心とする半径 $1$ の円 $C$ 上を動くことを意味する。

(1)

$|z-2|$ は $|w|$ であり、これは原点 $\mathrm{O}$ と円 $C$ 上の点 $w$ との距離を表す。

円 $C$ の中心を $\mathrm{A}(-2)$ とすると、原点 $\mathrm{O}$ と中心 $\mathrm{A}$ の距離は $\mathrm{OA} = 2$ である。

円 $C$ 上の点と原点 $\mathrm{O}$ との距離が最大・最小となるのは、点 $w$ が直線 $\mathrm{OA}$（すなわち実軸）上にあるときである。

距離の最大値は $\mathrm{OA} + (\text{半径}) = 2 + 1 = 3$ であり、距離の最小値は $\mathrm{OA} - (\text{半径}) = 2 - 1 = 1$ である。

したがって、求める範囲は、

$$ 1 \leqq |z-2| \leqq 3 $$

(2)

偏角 $\theta$ を $0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で考える。

複素数 $z-2$ すなわち $w$ の偏角 $\theta$ は、動径 $\mathrm{O}w$ が実軸の正の向きとなす角である。

点 $w$ が円 $C$ 上を動くとき、偏角 $\theta$ が最大または最小となるのは、動径 $\mathrm{O}w$ を表す直線が円 $C$ に接するときである。

原点 $\mathrm{O}$ から円 $C$ に引いた接線の接点を $\mathrm{T}$ とすると、$\angle\mathrm{OTA} = \frac{\pi}{2}$ である。

直角三角形 $\mathrm{OTA}$ において、斜辺 $\mathrm{OA} = 2$、対辺 $\mathrm{AT} = 1$（円の半径）であるから、

$$ \sin(\angle\mathrm{AOT}) = \frac{\mathrm{AT}}{\mathrm{OA}} = \frac{1}{2} $$

となる。ゆえに、$\angle\mathrm{AOT} = \frac{\pi}{6}$ である。

円 $C$ は第2象限および第3象限（実部が負の領域）にあり、中心は実軸の負の部分にある点 $-2$ である。

したがって、動径が実軸の負の向き（偏角 $\pi$）となす角の最大値が $\frac{\pi}{6}$ となる。

これにより、偏角 $\theta$ の取り得る範囲は、$\pi$ から $\pm\frac{\pi}{6}$ の範囲、すなわち、

$$ \pi - \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \pi + \frac{\pi}{6} $$

となる。これを計算して、

$$ \frac{5}{6}\pi \leqq \theta \leqq \frac{7}{6}\pi $$

解法2

数式を用いて代数的に求める。

$z$ は $|z|=1$ を満たすので、実数 $\alpha$（$0 \leqq \alpha < 2\pi$）を用いて $z = \cos\alpha + i\sin\alpha$ と表せる。

よって、

$$ z - 2 = (\cos\alpha - 2) + i\sin\alpha $$

となる。

(1)

$|z-2|^2$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} |z-2|^2 &= (\cos\alpha - 2)^2 + \sin^2\alpha \\ &= \cos^2\alpha - 4\cos\alpha + 4 + \sin^2\alpha \\ &= 5 - 4\cos\alpha \end{aligned} $$

ここで、$-1 \leqq \cos\alpha \leqq 1$ であるから、

$$ 1 \leqq 5 - 4\cos\alpha \leqq 9 $$

すなわち、$1 \leqq |z-2|^2 \leqq 9$ となる。

$|z-2| \geqq 0$ であるから、各辺の正の平方根をとって、

$$ 1 \leqq |z-2| \leqq 3 $$

(2)

$w = z - 2 = x + iy$ とおくと、

$$ \begin{cases} x = \cos\alpha - 2 \\ y = \sin\alpha \end{cases} $$

である。

$-1 \leqq \cos\alpha \leqq 1$ より $-3 \leqq x \leqq -1$ となるため、点 $w$ の実部は常に負であり、点 $w$ は第2象限または第3象限、あるいは実軸の負の部分に存在する。

したがって、偏角 $\theta$ を $0 \leqq \theta < 2\pi$ とすると、$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ の範囲にある。

この範囲において、$\tan\theta = \frac{y}{x}$ を考える。

$$ \tan\theta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha - 2} $$

この式の右辺を $f(\alpha)$ とおき、微分して増減を調べる。

$$ \begin{aligned} f'(\alpha) &= \frac{\cos\alpha(\cos\alpha - 2) - \sin\alpha(-\sin\alpha)}{(\cos\alpha - 2)^2} \\ &= \frac{\cos^2\alpha - 2\cos\alpha + \sin^2\alpha}{(\cos\alpha - 2)^2} \\ &= \frac{1 - 2\cos\alpha}{(\cos\alpha - 2)^2} \end{aligned} $$

$f'(\alpha) = 0$ となるのは $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ のときであり、$0 \leqq \alpha < 2\pi$ において $\alpha = \frac{\pi}{3}, \frac{5}{3}\pi$ である。

$\alpha = \frac{\pi}{3}$ のとき、

$$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} - 2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $$

$\alpha = \frac{5}{3}\pi$ のとき、

$$ f\left(\frac{5}{3}\pi\right) = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} - 2} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

$f(\alpha)$ は連続関数であり、これらの値がそれぞれ最小値および最大値となることから、$f(\alpha)$ の値域は、

$$ -\frac{1}{\sqrt{3}} \leqq \tan\theta \leqq \frac{1}{\sqrt{3}} $$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ の範囲において、$\tan\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となるのは $\theta = \frac{5}{6}\pi$ のときであり、$\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となるのは $\theta = \frac{7}{6}\pi$ のときである。

この区間において $\tan\theta$ の取る値と偏角 $\theta$ は対応して連続的に変化するため、$\theta$ の範囲は、

$$ \frac{5}{6}\pi \leqq \theta \leqq \frac{7}{6}\pi $$

解説

複素数平面において、$|z - \alpha| = r$ は点 $\alpha$ を中心とする半径 $r$ の円を表す。この図形的意味を捉えることができれば、計算量を大幅に減らして見通しよく解くことができる。
特に絶対値の最大・最小は「円の中心と原点を通る直線上の点」で生じ、偏角の最大・最小は「原点から円に引いた接線の接点」で生じるという幾何的な性質は非常に頻出である。
解法2のように極形式を用いてパラメータ表示し、三角関数の取り得る値の範囲を微積分を用いて求める方法も確実である。図形的な直感に自信がない場合や、より複雑な軌跡の問題では代数的な処理が有効になる。
偏角 $\theta$ の範囲について、本解答では一般的な $0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲を仮定して表した。もし $-\pi < \theta \leqq \pi$ の範囲で指定されたものと解釈する場合は、$-\pi < \theta \leqq -\frac{5}{6}\pi$ および $\frac{5}{6}\pi \leqq \theta \leqq \pi$ となることに留意する。