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北海道大学 1977年文系第4問解説

方針・初手

座標平面上の三角形の重心の公式、点と直線の距離公式を用いる図形と方程式の標準的な問題である。
(1)は公式通りに各成分の平均を計算する。
(2)は直線$OB_t$の方程式を求めて点と直線の距離の公式を使うか、直角三角形の面積を利用して高さを逆算する。
(3)は各垂線の長さを求め、得られた1変数関数の最大値を考える。式の形から相加平均と相乗平均の大小関係の利用が有効である。

解法1

(1)

点$O(0, 0)$、$A_t(at, 0)$、$B_t\left(at, \frac{a}{t}\right)$を頂点とする$\triangle OA_tB_t$の重心$G_t$の座標は、

$$ \left( \frac{0 + at + at}{3}, \frac{0 + 0 + \frac{a}{t}}{3} \right) $$

を計算して、

$$ G_t \left( \frac{2at}{3}, \frac{a}{3t} \right) $$

となる。

(2)

$O(0,0)$と$B_t\left(at, \frac{a}{t}\right)$を通る直線の方程式は、傾きが $y = \frac{\frac{a}{t}}{at} = \frac{1}{t^2}$ であるから

$$ y = \frac{1}{t^2}x $$

すなわち

$$ x - t^2 y = 0 $$

である。点$A_t(at, 0)$から直線$OB_t$に下ろした垂線の長さを$h$とすると、点と直線の距離の公式より

$$ h = \frac{|at - t^2 \cdot 0|}{\sqrt{1^2 + (-t^2)^2}} = \frac{|at|}{\sqrt{1+t^4}} $$

$a > 0, t > 0$ であるから、$at > 0$ となり、絶対値を外して

$$ h = \frac{at}{\sqrt{1+t^4}} $$

となる。

(3)

点$G_t\left( \frac{2at}{3}, \frac{a}{3t} \right)$から各辺への距離を求める。線分$OA_t$は$x$軸上にあるから、$p_t$は$G_t$の$y$座標に等しく

$$ p_t = \frac{a}{3t} $$

直線$A_tB_t$は$y$軸に平行な直線$x = at$であるから、$q_t$は

$$ q_t = at - \frac{2at}{3} = \frac{at}{3} $$

$r_t$は$G_t$から直線$OB_t$: $x - t^2 y = 0$への距離であるから

$$ r_t = \frac{\left| \frac{2at}{3} - t^2 \cdot \frac{a}{3t} \right|}{\sqrt{1+t^4}} = \frac{\left| \frac{2at}{3} - \frac{at}{3} \right|}{\sqrt{1+t^4}} = \frac{at}{3\sqrt{1+t^4}} $$

よって、これらの積$p_t q_t r_t$は

$$ p_t q_t r_t = \frac{a}{3t} \cdot \frac{at}{3} \cdot \frac{at}{3\sqrt{1+t^4}} = \frac{a^3 t}{27\sqrt{1+t^4}} $$

ここで、$t>0$より、式の分母分子を$t$で割ると

$$ p_t q_t r_t = \frac{a^3}{27} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1+t^4}{t^2}}} = \frac{a^3}{27} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{t^2} + t^2}} $$

$t^2 > 0$、$\frac{1}{t^2} > 0$であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$ t^2 + \frac{1}{t^2} \geqq 2\sqrt{t^2 \cdot \frac{1}{t^2}} = 2 $$

等号が成立するのは $t^2 = \frac{1}{t^2}$、すなわち $t^4 = 1$ のときであり、$t>0$ より $t = 1$ のときである。したがって、分母の根号の中身 $\frac{1}{t^2} + t^2$ の最小値は $2$ であり、このとき $p_t q_t r_t$ は最大値をとる。最大値は

$$ \frac{a^3}{27} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}a^3}{54} $$

である。

解法2

(2)

$\triangle OA_tB_t$ は $\angle OA_tB_t = 90^\circ$ の直角三角形であるから、その面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2} \cdot OA_t \cdot A_tB_t = \frac{1}{2} \cdot at \cdot \frac{a}{t} = \frac{a^2}{2} $$

また、三平方の定理より辺 $OB_t$ の長さは

$$ OB_t = \sqrt{(at)^2 + \left( \frac{a}{t} \right)^2} = \sqrt{a^2 t^2 + \frac{a^2}{t^2}} = \frac{a\sqrt{t^4+1}}{t} $$

点$A_t$から辺$OB_t$に下ろした垂線の長さを $h$ とすると、面積 $S$ は $\frac{1}{2} \cdot OB_t \cdot h$ とも表せるので

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{t^4+1}}{t} \cdot h = \frac{a^2}{2} $$

これを $h$ について解くと

$$ h = \frac{at}{\sqrt{t^4+1}} $$

(3)

重心と面積の性質を利用する。重心と各頂点を結んでできる3つの三角形 $\triangle G_t OA_t$、$\triangle G_t A_tB_t$、$\triangle G_t OB_t$ の面積はすべて等しく、元の $\triangle OA_tB_t$ の面積 $S$ の $\frac{1}{3}$ である。すなわち

$$ \triangle G_t OA_t = \triangle G_t A_tB_t = \triangle G_t OB_t = \frac{S}{3} = \frac{a^2}{6} $$

一方、各三角形の底辺と高さの関係から

$$ \triangle G_t OA_t = \frac{1}{2} \cdot OA_t \cdot p_t = \frac{1}{2} \cdot at \cdot p_t $$

$$ \triangle G_t A_tB_t = \frac{1}{2} \cdot A_tB_t \cdot q_t = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{t} \cdot q_t $$

$$ \triangle G_t OB_t = \frac{1}{2} \cdot OB_t \cdot r_t = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{t^4+1}}{t} \cdot r_t $$

これらが $\frac{a^2}{6}$ と等しいことから、$p_t, q_t, r_t$ をそれぞれ求めることができる。

$$ \frac{1}{2} at p_t = \frac{a^2}{6} \implies p_t = \frac{a}{3t} $$

$$ \frac{1}{2} \frac{a}{t} q_t = \frac{a^2}{6} \implies q_t = \frac{at}{3} $$

$$ \frac{1}{2} \frac{a\sqrt{t^4+1}}{t} r_t = \frac{a^2}{6} \implies r_t = \frac{at}{3\sqrt{t^4+1}} $$

これらの積をとり、$f(t) = \frac{t}{\sqrt{t^4+1}}$ とおいて微分を用いて最大値を求める。

$$ p_t q_t r_t = \frac{a}{3t} \cdot \frac{at}{3} \cdot \frac{at}{3\sqrt{t^4+1}} = \frac{a^3}{27} \frac{t}{\sqrt{t^4+1}} = \frac{a^3}{27} f(t) $$

$f(t) > 0$ であるから、$f(t)$ が最大となるとき $f(t)^2$ も最大となる。 $g(t) = \{f(t)\}^2 = \frac{t^2}{t^4+1}$ とおく。

$$ g'(t) = \frac{2t(t^4+1) - t^2(4t^3)}{(t^4+1)^2} = \frac{2t - 2t^5}{(t^4+1)^2} = \frac{2t(1-t^4)}{(t^4+1)^2} $$

$t > 0$ において $g'(t) = 0$ となるのは $t^4 = 1$ すなわち $t = 1$ のときである。 $t > 0$ における $g(t)$ の増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} t & (0) & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline g'(t) & & + & 0 & - \\ \hline g(t) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow \end{array} $$

増減表より、$g(t)$ は $t=1$ のとき最大値 $g(1) = \frac{1}{2}$ をとる。したがって、$f(t)$ も $t=1$ のとき最大値 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ をとる。ゆえに、$p_t q_t r_t$ は $t=1$ のとき最大となり、最大値は

$$ \frac{a^3}{27} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}a^3}{54} $$

である。

解説

(2)は解法1のように直線の方程式を立てて点と直線の距離の公式に代入するだけで求まるが、解法2のように面積から高さを逆算する視点は他の図形問題でも汎用性が高い。
(3)についても、図形の性質（重心は三角形の面積を3等分する）を利用することで、複雑な座標計算や点と直線の距離の公式を使わずとも $r_t$ を導出できる。
関数 $\frac{t}{\sqrt{t^4+1}}$ の最大値は微分で処理することもできるが、分母分子を $t$ で割り、相加平均と相乗平均の大小関係に持ち込むと計算量が減りミスを防ぐことができる。このような変形は頻出であるため習熟しておきたい。