トップ› 北海道大学› 1980年› 文系第2問

北海道大学 1980年文系第2問解説

方針・初手

行列の累乗の定義 $\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ を用いて、成分ごとの連立漸化式を立てます。行列 $A$ の各列の成分の和が $1$ になることに着目すると、$x_n + y_n$ が常に一定であるという性質を利用できます。

解法1

(1)

与えられた定義 $\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ について、$n$ を $n+1$ とすると以下の関係が成り立ちます。

$$ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = A^{n+1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = A \left\{ A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} = A \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} $$

これに行列 $A$ を代入して展開します。

$$ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 1-b \\ 1-a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax_n + (1-b)y_n \\ (1-a)x_n + by_n \end{pmatrix} $$

行列の成分を比較することで、次の2つの関係式が得られます。

$$ x_{n+1} = ax_n + (1-b)y_n \quad \cdots \text{①} $$

$$ y_{n+1} = (1-a)x_n + by_n \quad \cdots \text{②} $$

①と②の辺々を足し合わせます。

$$ x_{n+1} + y_{n+1} = (a + 1 - a)x_n + (1 - b + b)y_n = x_n + y_n $$

これにより、数列 $\{x_n + y_n\}$ はすべての自然数 $n$ において一定の値をとることが分かります。ここで、$n=1$ のときの値を計算します。

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = A^1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 1-b \\ 1-a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 1-a \end{pmatrix} $$

よって、$x_1 + y_1 = a + (1-a) = 1$ となります。したがって、すべての自然数 $n$ に対して次が成り立ちます。

$$ x_n + y_n = 1 \iff y_n = 1 - x_n $$

これを①式に代入して $y_n$ を消去します。

$$ \begin{aligned} x_{n+1} &= ax_n + (1-b)(1-x_n) \\ &= ax_n + 1 - x_n - b + bx_n \\ &= (a+b-1)x_n + 1-b \end{aligned} $$

(2)

(1)で求めた漸化式 $x_{n+1} = (a+b-1)x_n + 1-b$ は、$x_{n+1} - \alpha = (a+b-1)(x_n - \alpha)$ の形に変形できます。この $\alpha$ は特性方程式 $\alpha = (a+b-1)\alpha + 1-b$ の解です。これを解くと、

$$ (2-a-b)\alpha = 1-b $$

問題の条件より $a+b \neq 2$ すなわち $2-a-b \neq 0$ であるため、$\alpha = \frac{1-b}{2-a-b}$ となります。したがって、漸化式は次のように変形できます。

$$ x_{n+1} - \frac{1-b}{2-a-b} = (a+b-1) \left( x_n - \frac{1-b}{2-a-b} \right) $$

これにより、数列 $\left\{ x_n - \frac{1-b}{2-a-b} \right\}$ は、初項が $x_1 - \frac{1-b}{2-a-b}$、公比が $a+b-1$ の等比数列であることが分かります。ここで初項を計算します。$x_1 = a$ より、

$$ \begin{aligned} x_1 - \frac{1-b}{2-a-b} &= a - \frac{1-b}{2-a-b} \\ &= \frac{a(2-a-b) - (1-b)}{2-a-b} \\ &= \frac{2a - a^2 - ab - 1 + b}{2-a-b} \\ &= \frac{-a^2 - ab + a + a + b - 1}{2-a-b} \\ &= \frac{-a(a+b-1) + (a+b-1)}{2-a-b} \\ &= \frac{(1-a)(a+b-1)}{2-a-b} \end{aligned} $$

よって、等比数列の一般項は次のように求まります。

$$ \begin{aligned} x_n - \frac{1-b}{2-a-b} &= \frac{(1-a)(a+b-1)}{2-a-b} \cdot (a+b-1)^{n-1} \\ &= \frac{1-a}{2-a-b}(a+b-1)^n \end{aligned} $$

これを $x_n$ について整理します。

$$ x_n = \frac{1-b}{2-a-b} + \frac{1-a}{2-a-b}(a+b-1)^n $$

次に、$y_n = 1 - x_n$ の関係式にこれを代入して $y_n$ を求めます。

$$ \begin{aligned} y_n &= 1 - \left\{ \frac{1-b}{2-a-b} + \frac{1-a}{2-a-b}(a+b-1)^n \right\} \\ &= \frac{2-a-b-(1-b)}{2-a-b} - \frac{1-a}{2-a-b}(a+b-1)^n \\ &= \frac{1-a}{2-a-b} - \frac{1-a}{2-a-b}(a+b-1)^n \\ &= \frac{1-a}{2-a-b} \{ 1 - (a+b-1)^n \} \end{aligned} $$

解法2

(2)の別解として、行列の $n$ 乗 $A^n$ を直接計算する方法を示します。

行列 $A$ に対してケーリー・ハミルトンの定理を適用します。

$$ A^2 - (a+b)A + \{ab - (1-a)(1-b)\}E = O $$

定数項を整理すると $ab - (1 - a - b + ab) = a+b-1$ となるため、

$$ A^2 - (a+b)A + (a+b-1)E = O $$

$$ (A - E)\{A - (a+b-1)E\} = O $$

ここで、多項式 $x^n$ を $(x-1)\{x-(a+b-1)\}$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $px+q$ （$p, q$ は定数）とおきます。

$$ x^n = (x-1)\{x-(a+b-1)\}Q(x) + px + q $$

この恒等式に $x=1$ と $x=a+b-1$ をそれぞれ代入します。

$$ 1 = p + q \quad \cdots \text{③} $$

$$ (a+b-1)^n = p(a+b-1) + q \quad \cdots \text{④} $$

③と④の辺々を引いて $q$ を消去します。

$$ 1 - (a+b-1)^n = p\{1 - (a+b-1)\} = p(2-a-b) $$

条件 $a+b \neq 2$ より $2-a-b \neq 0$ なので、$p$ は次のように定まります。

$$ p = \frac{1 - (a+b-1)^n}{2-a-b} $$

③より $q = 1 - p$ なので、

$$ \begin{aligned} q &= 1 - \frac{1 - (a+b-1)^n}{2-a-b} \\ &= \frac{2-a-b - 1 + (a+b-1)^n}{2-a-b} \\ &= \frac{1-a-b + (a+b-1)^n}{2-a-b} \end{aligned} $$

行列の等式に戻り、$x$ に行列 $A$ を代入すると、$(A - E)\{A - (a+b-1)E\} = O$ であることから次の式が成り立ちます。

$$ A^n = pA + qE = \begin{pmatrix} pa+q & p(1-b) \\ p(1-a) & pb+q \end{pmatrix} $$

求める $x_n, y_n$ は $\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ であり、これは $A^n$ の第1列そのものです。

$$ x_n = pa+q = a \cdot \frac{1 - (a+b-1)^n}{2-a-b} + \frac{1-a-b + (a+b-1)^n}{2-a-b} $$

分子を整理します。

$$ \begin{aligned} x_n &= \frac{a - a(a+b-1)^n + 1-a-b + (a+b-1)^n}{2-a-b} \\ &= \frac{1-b + (1-a)(a+b-1)^n}{2-a-b} \end{aligned} $$

同様に $y_n$ を求めます。

$$ \begin{aligned} y_n &= p(1-a) \\ &= \frac{1-a}{2-a-b} \{ 1 - (a+b-1)^n \} \end{aligned} $$