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北海道大学 1995年文系第2問解説

方針・初手

行列による1次変換の繰り返しは、成分ごとの連立漸化式を立てて解く方針と、行列の固有ベクトル（変換によって向きが変わらないベクトル）に着目して行列の $n$ 乗を計算する方針の2つが考えられる。本問は行列が対称な形に近い（主対角成分が等しく、非対角成分も等しい）ため、成分の和と差をとることで連立漸化式を容易に解くことができる。

解法1

(1)

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、$f(P)=P$ より

$$ \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

すなわち

$$ \begin{cases} \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}y = x \\ -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}y = y \end{cases} $$

これらを整理すると、どちらの式からも $y = -x$ が得られる。

点 $P$ は円 $x^2 + y^2 = 2$ 上の点であるから、$y = -x$ を代入して

$$ x^2 + (-x)^2 = 2 $$

$$ 2x^2 = 2 $$

$$ x^2 = 1 $$

したがって $x = \pm 1$ となる。 $x = 1$ のとき $y = -1$ であり、$x = -1$ のとき $y = 1$ である。よって、点 $P$ の座標は $(1, -1)$ または $(-1, 1)$ である。

(2)

点 $P_{n}(x_n, y_n)$ と点 $P_{n+1}(x_{n+1}, y_{n+1})$ の間には $P_{n+1} = f(P_n)$ の関係があるから、

$$ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} $$

すなわち、以下の連立漸化式が得られる。

$$ x_{n+1} = \frac{3}{4}x_n - \frac{1}{4}y_n \quad \cdots \text{①} $$

$$ y_{n+1} = -\frac{1}{4}x_n + \frac{3}{4}y_n \quad \cdots \text{②} $$

①と②の辺々を足し合わせると

$$ x_{n+1} + y_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + y_n) $$

数列 $\{x_n + y_n\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。 $(x_0, y_0) = (1, 1)$ のとき、初項は $x_0 + y_0 = 2$ であるから、一般項は

$$ x_n + y_n = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n \quad \cdots \text{③} $$

次に、①から②を辺々引くと

$$ x_{n+1} - y_{n+1} = x_n - y_n $$

数列 $\{x_n - y_n\}$ は定数数列である。 $(x_0, y_0) = (1, 1)$ のとき、初項は $x_0 - y_0 = 0$ であるから、一般項は

$$ x_n - y_n = 0 \quad \cdots \text{④} $$

③と④の連立方程式を解く。辺々を加えると $2x_n = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ より $x_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ となる。辺々を引くと $2y_n = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ より $y_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ となる。したがって、$P_n$ の座標は $\left( \left(\frac{1}{2}\right)^n, \left(\frac{1}{2}\right)^n \right)$ となり、題意は示された。

(3)

$(x_0, y_0) = (2, 0)$ のとき、(2)で導いた数列の性質を用いる。初項を計算すると

$$ x_0 + y_0 = 2 + 0 = 2 $$

$$ x_0 - y_0 = 2 - 0 = 2 $$

したがって、数列 $\{x_n + y_n\}, \{x_n - y_n\}$ の一般項はそれぞれ以下のようになる。

$$ x_n + y_n = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n \quad \cdots \text{⑤} $$

$$ x_n - y_n = 2 \quad \cdots \text{⑥} $$

⑤と⑥を連立して解く。辺々を加えると

$$ 2x_n = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n + 2 $$

$$ x_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n + 1 $$

辺々を引くと

$$ 2y_n = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n - 2 $$

$$ y_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n - 1 $$

よって、$P_n$ の座標は $\left( \left(\frac{1}{2}\right)^n + 1, \left(\frac{1}{2}\right)^n - 1 \right)$ である。

解法2

(1)

解法1と同様に $A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を解くと $y = -x$ が得られる。これと $x^2 + y^2 = 2$ を連立して解くことで、点 $P$ の座標は $(1, -1)$ または $(-1, 1)$ となる。

(2)

行列 $A$ による点 $(1, 1)$ の像を計算すると、

$$ A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

となる。点 $P_n$ の位置ベクトルは $\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}$ と表される。 $(x_0, y_0) = (1, 1)$ のとき、

$$ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = A^{n-1} \left( \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \cdots = \left(\frac{1}{2}\right)^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left(\frac{1}{2}\right)^n \\ \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix} $$

したがって、$P_n$ の座標は $\left( \left(\frac{1}{2}\right)^n, \left(\frac{1}{2}\right)^n \right)$ となり、示された。

(3)

$(x_0, y_0) = (2, 0)$ のとき、出発点の位置ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ を、行列 $A$ の性質が分かりやすい2つのベクトルの一次結合で表すことを考える。 (1)の結果から、$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ は $A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ を満たす。 (2)の計算から、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を満たす。

位置ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と分解できるため、

$$ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = A^n \left( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = A^n \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

ここで、$A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ を繰り返し用いると $A^n \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となる。また、(2)より $A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \left(\frac{1}{2}\right)^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ であるから、

$$ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \left(\frac{1}{2}\right)^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^n \\ -1 + \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix} $$

よって、$P_n$ の座標は $\left( \left(\frac{1}{2}\right)^n + 1, \left(\frac{1}{2}\right)^n - 1 \right)$ である。

解説

漸化式や行列の $n$ 乗を計算する典型問題である。解法1のように、$x_n$ と $y_n$ の対称性に着目して和と差の数列を作る方法は、連立漸化式を解く上で非常に有効かつ計算量を減らせる定石である。

解法2は、大学数学における「行列の対角化」や「固有値・固有ベクトル」の考え方を背景としている。(1)と(2)で調べたベクトルがそれぞれ固有値 $1$ と $\frac{1}{2}$ に対応する固有ベクトルとなっており、これらを基底として初期値ベクトルを分解することで、見通しよく $n$ 乗の計算結果を得ることができる。本問の誘導に乗る形であれば、解法2の視点を持てると計算ミスを防ぎやすい。