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北海道大学 1988年文系第3問解説

方針・初手

半角の公式を用いて、和の各項である $\tan^2\frac{\theta_k}{2}$ を $\cos\theta_k$ で表す。その後、得られた式を $k$ について整理し、部分分数分解を利用してシグマ計算を行う。

解法1

三角関数の半角の公式より、次の等式が成り立つ。

$$ \tan^2\frac{\theta_k}{2} = \frac{1 - \cos\theta_k}{1 + \cos\theta_k} $$

問題で与えられた条件 $\cos\theta_k = 1 - \frac{1}{2k^2}$ より、

$$ 1 - \cos\theta_k = \frac{1}{2k^2} $$

$$ 1 + \cos\theta_k = 1 + \left( 1 - \frac{1}{2k^2} \right) = \frac{4k^2 - 1}{2k^2} $$

これらを先ほどの半角の公式の式に代入すると、

$$ \tan^2\frac{\theta_k}{2} = \frac{\frac{1}{2k^2}}{\frac{4k^2 - 1}{2k^2}} = \frac{1}{4k^2 - 1} $$

分母を因数分解し、部分分数に分解する。

$$ \frac{1}{4k^2 - 1} = \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right) $$

よって、求める和は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n \tan^2\frac{\theta_k}{2} &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n + 1} \\ &= \frac{n}{2n + 1} \end{aligned} $$

解説

三角関数の変形と数列の和（部分分数分解）を組み合わせた標準的な問題である。与えられた $\cos\theta_k$ の式から $\tan^2\frac{\theta_k}{2}$ の値を得るために半角の公式を利用するのは自然な発想である。その後現れる $\frac{1}{4k^2 - 1}$ が望遠鏡和（途中の項が隣り合って打ち消し合う形）の構造を持つことも、数列分野における典型的なパターンとして押さえておきたい。