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北海道大学 1988年文系第4問解説

方針・初手

定積分において積分変数は $t$ であり、$x$ は定数として扱う。被積分関数に含まれる絶対値記号を外すことが第一歩である。

積分区間 $0 \le t \le 2$ において $t^2 \ge 0$ であるから、$|t^2(t-x)| = t^2|t-x|$ と変形できる。絶対値 $|t-x|$ を外すために、$t$ と $x$ の大小関係、すなわち $t=x$ が積分区間 $0 \le t \le 2$ に含まれるかどうかで場合分けを行う。

解法1

(1)

$$ f(x) = \int_0^2 |t^2(t-x)| dt = \int_0^2 t^2|t-x| dt $$

絶対値記号を外すために、$x$ の値によって場合分けを行う。

(i) $0 \le x \le 2$ のとき

積分区間 $0 \le t \le x$ において $t-x \le 0$ より $|t-x| = -(t-x) = x-t$

積分区間 $x \le t \le 2$ において $t-x \ge 0$ より $|t-x| = t-x$

したがって、積分区間を $0$ から $x$ と $x$ から $2$ に分割して計算する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^x t^2(x-t) dt + \int_x^2 t^2(t-x) dt \\ &= \int_0^x (xt^2 - t^3) dt + \int_x^2 (t^3 - xt^2) dt \\ &= \left[ \frac{1}{3}xt^3 - \frac{1}{4}t^4 \right]_0^x + \left[ \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{3}xt^3 \right]_x^2 \\ &= \left( \frac{1}{3}x^4 - \frac{1}{4}x^4 \right) + \left( 4 - \frac{8}{3}x \right) - \left( \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^4 \right) \\ &= \frac{1}{12}x^4 + 4 - \frac{8}{3}x + \frac{1}{12}x^4 \\ &= \frac{1}{6}x^4 - \frac{8}{3}x + 4 \end{aligned} $$

(ii) $x > 2$ のとき

積分区間 $0 \le t \le 2$ において常に $t < x$ であるから $t-x < 0$

よって、$|t-x| = x-t$ となる。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^2 t^2(x-t) dt \\ &= \int_0^2 (xt^2 - t^3) dt \\ &= \left[ \frac{1}{3}xt^3 - \frac{1}{4}t^4 \right]_0^2 \\ &= \frac{8}{3}x - 4 \end{aligned} $$

以上より、$f(x)$ は次のようになる。

$$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6}x^4 - \frac{8}{3}x + 4 & (0 \le x \le 2) \\ \frac{8}{3}x - 4 & (x > 2) \end{cases} $$

(2)

(1) の結果を用いて積分区間を分割し、定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^3 f(x) dx &= \int_0^2 f(x) dx + \int_2^3 f(x) dx \\ &= \int_0^2 \left( \frac{1}{6}x^4 - \frac{8}{3}x + 4 \right) dx + \int_2^3 \left( \frac{8}{3}x - 4 \right) dx \\ &= \left[ \frac{1}{30}x^5 - \frac{4}{3}x^2 + 4x \right]_0^2 + \left[ \frac{4}{3}x^2 - 4x \right]_2^3 \\ &= \left( \frac{32}{30} - \frac{16}{3} + 8 \right) + \left\{ \left( \frac{36}{3} - 12 \right) - \left( \frac{16}{3} - 8 \right) \right\} \\ &= \left( \frac{16}{15} - \frac{80}{15} + \frac{120}{15} \right) + \left\{ (12 - 12) - \left( \frac{16}{3} - \frac{24}{3} \right) \right\} \\ &= \frac{56}{15} + \frac{8}{3} \\ &= \frac{56}{15} + \frac{40}{15} \\ &= \frac{96}{15} \\ &= \frac{32}{5} \end{aligned} $$

解説

絶対値を含む定積分によって表された関数の典型的な問題である。

積分変数が $t$ であるため、積分区間 $0 \le t \le 2$ の中で絶対値の中身の符号がどのように変化するかを考える必要がある。$|t-x|$ の符号が変わる $t=x$ の位置と、積分区間の両端である $0, 2$ の位置関係に着目して場合分けを正しく行うことがポイントである。

(2) では (1) で求めた関数 $f(x)$ を $x$ について積分する。このとき、$f(x)$ が区間によって異なる式で表されているため、積分区間を $0 \le x \le 2$ と $2 \le x \le 3$ に分割して計算する。計算ミスを防ぐためにも、各区間での式を正確に適用することが重要である。