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北海道大学 1998年文系第5問解説

方針・初手

(1) 与えられた点からベクトル $\vec{PO}$ と $\vec{PQ}$ の成分を求めます。$\angle OPQ = 60^\circ$ という条件は、これら2つのベクトルのなす角が $60^\circ$ であることを意味するため、内積の定義 $\vec{PO} \cdot \vec{PQ} = |\vec{PO}||\vec{PQ}| \cos 60^\circ$ を利用して $a$ についての方程式を立てます。

(2) (1)で求めた $a$ の値を代入し、各点の座標を確定させます。点 $H$ は平面 $OPQ$ 上にあるため、実数 $s, t$ を用いて $\vec{OH} = s\vec{OP} + t\vec{OQ}$ と表せます。さらに、直線 $AH$ は平面 $OPQ$ に垂直であるから、$\vec{AH} \perp \vec{OP}$ かつ $\vec{AH} \perp \vec{OQ}$ が成り立ちます。これにより内積が $0$ になることを利用して $s, t$ を求めます。

解法1

(1)

点 $P$ を始点とするベクトル $\vec{PO}$ と $\vec{PQ}$ を成分で表す。

$$ \vec{PO} = \vec{O} - \vec{P} = (0 - 2\sqrt{2}a, 0 - 0, 0 - 0) = (-2\sqrt{2}a, 0, 0) $$

$$ \vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = (\sqrt{2}a - 2\sqrt{2}a, \sqrt{5}a - 0, 1 - 0) = (-\sqrt{2}a, \sqrt{5}a, 1) $$

これら2つのベクトルの内積 $\vec{PO} \cdot \vec{PQ}$ は、成分計算により次のように求まる。

$$ \vec{PO} \cdot \vec{PQ} = (-2\sqrt{2}a) \times (-\sqrt{2}a) + 0 \times \sqrt{5}a + 0 \times 1 = 4a^2 $$

また、各ベクトルの大きさは以下の通りである。$a > 0$ であることに注意する。

$$ |\vec{PO}| = \sqrt{(-2\sqrt{2}a)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{8a^2} = 2\sqrt{2}a $$

$$ |\vec{PQ}| = \sqrt{(-\sqrt{2}a)^2 + (\sqrt{5}a)^2 + 1^2} = \sqrt{2a^2 + 5a^2 + 1} = \sqrt{7a^2 + 1} $$

$\angle OPQ = 60^\circ$ であるから、内積の定義より次が成り立つ。

$$ \vec{PO} \cdot \vec{PQ} = |\vec{PO}| |\vec{PQ}| \cos 60^\circ $$

求めた式を代入する。

$$ 4a^2 = 2\sqrt{2}a \sqrt{7a^2 + 1} \times \frac{1}{2} $$

$$ 4a^2 = \sqrt{2}a \sqrt{7a^2 + 1} $$

$a > 0$ より、両辺を $a$ で割ることができる。

$$ 4a = \sqrt{2} \sqrt{7a^2 + 1} $$

両辺は正であるから、両辺を2乗して整理する。

$$ \begin{aligned} 16a^2 &= 2(7a^2 + 1) \\ 16a^2 &= 14a^2 + 2 \\ 2a^2 &= 2 \\ a^2 &= 1 \end{aligned} $$

$a > 0$ より、$a = 1$ である。

(2)

(1)より $a=1$ であるから、各点の座標は以下のようになる。

$$ O(0, 0, 0), \quad A(0, 0, 1), \quad P(2\sqrt{2}, 0, 0), \quad Q(\sqrt{2}, \sqrt{5}, 1) $$

点 $H$ は平面 $OPQ$ 上にあるので、実数 $s, t$ を用いて次のように表せる。

$$ \vec{OH} = s\vec{OP} + t\vec{OQ} $$

成分で表すと、

$$ \begin{aligned} \vec{OH} &= s(2\sqrt{2}, 0, 0) + t(\sqrt{2}, \sqrt{5}, 1) \\ &= (2\sqrt{2}s + \sqrt{2}t, \sqrt{5}t, t) \end{aligned} $$

また、$\vec{AH}$ は次のように求まる。

$$ \begin{aligned} \vec{AH} &= \vec{OH} - \vec{OA} \\ &= (2\sqrt{2}s + \sqrt{2}t, \sqrt{5}t, t) - (0, 0, 1) \\ &= (2\sqrt{2}s + \sqrt{2}t, \sqrt{5}t, t - 1) \end{aligned} $$

$A$ から平面 $OPQ$ に下ろした垂線の足が $H$ であるから、直線 $AH$ は平面 $OPQ$ に垂直である。したがって、$\vec{AH} \perp \vec{OP}$ かつ $\vec{AH} \perp \vec{OQ}$ が成り立つ。

(i) $\vec{AH} \perp \vec{OP}$ より、$\vec{AH} \cdot \vec{OP} = 0$ である。

$$ (2\sqrt{2}s + \sqrt{2}t) \times 2\sqrt{2} + \sqrt{5}t \times 0 + (t - 1) \times 0 = 0 $$

$$ 8s + 4t = 0 $$

$$ t = -2s $$

(ii) $\vec{AH} \perp \vec{OQ}$ より、$\vec{AH} \cdot \vec{OQ} = 0$ である。

$$ (2\sqrt{2}s + \sqrt{2}t) \times \sqrt{2} + \sqrt{5}t \times \sqrt{5} + (t - 1) \times 1 = 0 $$

$$ 4s + 2t + 5t + t - 1 = 0 $$

$$ 4s + 8t - 1 = 0 $$

$t = -2s$ を代入して $s$ を求める。

$$ \begin{aligned} 4s + 8(-2s) - 1 &= 0 \\ -12s &= 1 \\ s &= -\frac{1}{12} \end{aligned} $$

これより、$t = -2 \times \left(-\frac{1}{12}\right) = \frac{1}{6}$ となる。

求めた $s, t$ の値を $\vec{OH}$ の成分の式に代入する。

$$ \begin{aligned} x成分: \quad 2\sqrt{2}\left(-\frac{1}{12}\right) + \sqrt{2}\left(\frac{1}{6}\right) &= -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{6} = 0 \\ y成分: \quad \sqrt{5}\left(\frac{1}{6}\right) &= \frac{\sqrt{5}}{6} \\ z成分: \quad \frac{1}{6} & \end{aligned} $$

したがって、垂線の足 $H$ の座標は $\left(0, \frac{\sqrt{5}}{6}, \frac{1}{6}\right)$ である。

解法2

(2) の別解：法線ベクトルと平面の方程式を利用する

(1)より各点の座標は $O(0, 0, 0), P(2\sqrt{2}, 0, 0), Q(\sqrt{2}, \sqrt{5}, 1)$ である。

平面 $OPQ$ の法線ベクトルの一つを $\vec{n} = (p, q, r)$ とおく。$\vec{n} \perp \vec{OP}$ かつ $\vec{n} \perp \vec{OQ}$ であるから、内積は $0$ となる。

$\vec{n} \cdot \vec{OP} = 0$ より、 $$ 2\sqrt{2}p = 0 \quad \therefore p = 0 $$

$\vec{n} \cdot \vec{OQ} = 0$ より、 $$ \sqrt{2}p + \sqrt{5}q + r = 0 $$

$p=0$ を代入して、 $$ \sqrt{5}q + r = 0 \quad \therefore r = -\sqrt{5}q $$

$q = -1$ とおくと $r = \sqrt{5}$ となるため、法線ベクトルの一つとして $\vec{n} = (0, -1, \sqrt{5})$ が取れる。平面 $OPQ$ は原点を通るため、この平面の方程式は次のように表される。

$$ 0 \cdot x - 1 \cdot y + \sqrt{5} \cdot z = 0 $$

$$ -y + \sqrt{5}z = 0 $$

点 $A(0, 0, 1)$ からこの平面に垂線を下ろした足が $H$ である。$\vec{AH}$ は法線ベクトル $\vec{n}$ に平行であるため、実数 $k$ を用いて $\vec{AH} = k\vec{n}$ と表せる。

$$ \vec{OH} - \vec{OA} = k(0, -1, \sqrt{5}) $$

$$ \begin{aligned} \vec{OH} &= \vec{OA} + (0, -k, \sqrt{5}k) \\ &= (0, 0, 1) + (0, -k, \sqrt{5}k) \\ &= (0, -k, \sqrt{5}k + 1) \end{aligned} $$

点 $H$ の座標 $(0, -k, \sqrt{5}k + 1)$ は平面 $OPQ$ 上にあるため、平面の方程式 $-y + \sqrt{5}z = 0$ に代入して $k$ を求める。

$$ \begin{aligned} -(-k) + \sqrt{5}(\sqrt{5}k + 1) &= 0 \\ k + 5k + \sqrt{5} &= 0 \\ 6k &= -\sqrt{5} \\ k &= -\frac{\sqrt{5}}{6} \end{aligned} $$

この $k$ の値を $\vec{OH}$ の式に代入し、$H$ の座標を求める。

$$ x = 0 $$

$$ y = -\left(-\frac{\sqrt{5}}{6}\right) = \frac{\sqrt{5}}{6} $$

$$ z = \sqrt{5}\left(-\frac{\sqrt{5}}{6}\right) + 1 = -\frac{5}{6} + 1 = \frac{1}{6} $$

したがって、$H$ の座標は $\left(0, \frac{\sqrt{5}}{6}, \frac{1}{6}\right)$ である。

解説

空間ベクトルにおける非常に標準的で重要な問題です。

(1) は「なす角が与えられたら内積の定義式を用いる」という定石通りに進めれば問題ありません。計算過程で $a > 0$ という条件を忘れずに用いて、式の簡略化や解の吟味を行いましょう。

(2) は「点から平面に下ろした垂線の足」を求める頻出テーマです。解法1のように共面条件（$\vec{OH} = s\vec{OP} + t\vec{OQ}$）と垂直条件（内積が $0$）を組み合わせて連立方程式を解くアプローチが最も確実で王道です。解法2のように、平面の法線ベクトルを求めて平面の方程式を利用するアプローチは、計算量が減る場合が多く、検算手法としても優れています。