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北海道大学 2019年文系第1問解説

方針・初手

(1) は点 $Q$ が平面 $\alpha$ 上にある条件と、直線 $PQ$ が平面 $\alpha$ に垂直である条件を立式する。直線が平面に垂直であるためには、平面上の一次独立な2つのベクトル（ここでは $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$）のそれぞれと垂直であることが必要十分である。 (2) は (1) で求めた係数 $a, b$ が、$\triangle OAB$ の周または内部にあるための条件を満たすように不等式を立てる。

解法1

(1) 点 $Q$ は平面 $\alpha$ 上の点であるから、実数 $a, b$ を用いて $\overrightarrow{OQ} = a\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{OB}$ と表される。また、点 $P$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足が $Q$ であるから、$\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{OA}$ かつ $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{OB}$ が成り立つ。したがって、

$$ \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OA} = 0, \quad \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 $$

ここで、各ベクトルの成分より、内積と大きさを計算する。

$$ |\overrightarrow{OA}|^2 = (-1)^2 + 2^2 + 0^2 = 5 $$

$$ |\overrightarrow{OB}|^2 = 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 $$

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = -6 $$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = a\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}$ であるから、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ より

$$ (a\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}) \cdot \overrightarrow{OA} = 0 $$

$$ a|\overrightarrow{OA}|^2 + b(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}) - \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = 0 $$

$$ 5a - 6b = \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} $$

また、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ より

$$ (a\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}) \cdot \overrightarrow{OB} = 0 $$

$$ a(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}) + b|\overrightarrow{OB}|^2 - \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 $$

$$ -6a + 9b = \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} $$

ここで、$\overrightarrow{OP} = (p, -1, 2)$ より

$$ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = p \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 0 = -p - 2 $$

$$ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} = p \cdot 2 + (-1) \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 2p + 4 $$

したがって、以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} 5a - 6b = -p - 2 \\ -6a + 9b = 2p + 4 \end{cases} $$

第1式の両辺を3倍し、第2式の両辺を2倍して辺々足すと、

$$ 15a - 12a - 18b + 18b = -3p - 6 + 4p + 8 $$

$$ 3a = p + 2 $$

$$ a = \frac{p + 2}{3} $$

これを $5a - 6b = -p - 2$ に代入して、

$$ 5 \cdot \frac{p + 2}{3} - 6b = -p - 2 $$

$$ 6b = \frac{5p + 10}{3} + p + 2 = \frac{5p + 10 + 3p + 6}{3} = \frac{8p + 16}{3} $$

$$ b = \frac{4p + 8}{9} $$

(2) 点 $Q$ が $\triangle OAB$ の周または内部にあるための条件は、

$$ a \geqq 0, \quad b \geqq 0, \quad a + b \leqq 1 $$

である。

(i) $a \geqq 0$ について

$$ \frac{p + 2}{3} \geqq 0 $$

$$ p \geqq -2 $$

(ii) $b \geqq 0$ について

$$ \frac{4(p + 2)}{9} \geqq 0 $$

$$ p \geqq -2 $$

(iii) $a + b \leqq 1$ について

$$ \frac{p + 2}{3} + \frac{4p + 8}{9} \leqq 1 $$

$$ \frac{3(p + 2) + 4p + 8}{9} \leqq 1 $$

$$ \frac{7p + 14}{9} \leqq 1 $$

$$ 7p + 14 \leqq 9 $$

$$ 7p \leqq -5 $$

$$ p \leqq -\frac{5}{7} $$

(i), (ii), (iii) より、求める $p$ の範囲は

$$ -2 \leqq p \leqq -\frac{5}{7} $$

これは、問題文の条件である「$p$ は負の実数」($p < 0$) を満たす。

解法2

(1) 平面 $\alpha$ に垂直なベクトル（法線ベクトル）の1つを $\overrightarrow{n} = (x, y, z)$ とする。 $\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{OA}$ かつ $\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{OB}$ より、$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$, $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ であるから

$$ \begin{cases} -x + 2y = 0 \\ 2x - 2y + z = 0 \end{cases} $$

第1式より $x = 2y$。これを第2式に代入して $4y - 2y + z = 0$ より $z = -2y$。 $y = 1$ とすると、$x = 2$, $z = -2$ となるので、法線ベクトルの1つとして $\overrightarrow{n} = (2, 1, -2)$ がとれる。

点 $Q$ は、点 $P$ を通り方向ベクトルが $\overrightarrow{n}$ の直線上にあるので、実数 $k$ を用いて

$$ \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP} + k\overrightarrow{n} $$

$$ \overrightarrow{OQ} = (p, -1, 2) + k(2, 1, -2) = (p + 2k, -1 + k, 2 - 2k) $$

と表せる。

一方、点 $Q$ は原点を通る平面 $\alpha$ 上にあるから、$\overrightarrow{OQ} \perp \overrightarrow{n}$、すなわち $\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{n} = 0$ が成り立つ。

$$ (p + 2k) \cdot 2 + (-1 + k) \cdot 1 + (2 - 2k) \cdot (-2) = 0 $$

$$ 2p + 4k - 1 + k - 4 + 4k = 0 $$

$$ 9k + 2p - 5 = 0 $$

$$ k = \frac{5 - 2p}{9} $$

また、$\overrightarrow{OQ} = a\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{OB}$ より、成分を比較すると

$$ (p + 2k, -1 + k, 2 - 2k) = a(-1, 2, 0) + b(2, -2, 1) = (-a + 2b, 2a - 2b, b) $$

したがって、各成分について以下の式が成り立つ。

$$ \begin{cases} -a + 2b = p + 2k \\ 2a - 2b = -1 + k \\ b = 2 - 2k \end{cases} $$

$z$ 成分の式に $k = \frac{5 - 2p}{9}$ を代入して $b$ を求める。

$$ b = 2 - 2\left(\frac{5 - 2p}{9}\right) = \frac{18 - 10 + 4p}{9} = \frac{4p + 8}{9} $$

$y$ 成分の式 $2a - 2b = -1 + k$ を変形して $a$ を求める。

$$ 2a = 2b - 1 + k = 2\left(\frac{4p + 8}{9}\right) - 1 + \frac{5 - 2p}{9} = \frac{8p + 16 - 9 + 5 - 2p}{9} = \frac{6p + 12}{9} $$

$$ a = \frac{3p + 6}{9} = \frac{p + 2}{3} $$

(2) 解法1と同じため省略。

解説

空間ベクトルにおいて、点から平面に下ろした垂線の足を求める典型問題である。垂線の足の条件は「平面上にあること（一次独立な2つのベクトルの一次結合で表せる）」と「平面に垂直であること（平面上の2つのベクトルとそれぞれ内積が0になる）」の2つを用いて連立方程式を立てるのが定石である。解法1はこれを愚直に実行した堅実な方法である。解法2のように、平面の法線ベクトルを成分計算から求めておくと、幾何的な見通しが良くなり計算ミスを防ぎやすくなる。 (2) は三角形の周または内部にあるための基本条件である「係数が0以上」かつ「係数の和が1以下」を適用して連立不等式を解く。最後に、問題文の冒頭に与えられた「$p$ を負の実数とする」という条件と矛盾しないかの確認も忘れないようにしたい。