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東京大学 1997年文系第3問解説

方針・初手

与えられたベクトルの大きさに関する等式を両辺 $2$ 乗し、点 $P$ の座標 $(x, y, z)$ に関する方程式を立てて処理する。距離の条件から $x, y, z$ の関係式を導き、最終的に $1$ つの変数に関する方程式に帰着させる。この方程式が異なる $2$ つの実数解をもつための条件を、判別式や最高次係数の条件から求める。

解法1

点 $P$ の座標を $(x, y, z)$ とする。与えられた条件から、ベクトルの大きさを $2$ 乗した以下の等式が成り立つ。

$$ |\overrightarrow{PA}|^2 = |\overrightarrow{PB}|^2 $$

$$ |\overrightarrow{PC}|^2 = |\overrightarrow{PO}|^2 $$

$$ |\overrightarrow{PA}|^2 = r^2|\overrightarrow{PO}|^2 $$

各点の座標は $O(0, 0, 0)$, $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $C(0, 0, 1)$ であるから、各等式を座標成分で表して整理していく。

まず、$|\overrightarrow{PA}|^2 = |\overrightarrow{PB}|^2$ より、

$$ (x-1)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-1)^2 + z^2 $$

両辺を展開して整理すると、

$$ -2x + 1 = -2y + 1 $$

$$ x = y $$

次に、$|\overrightarrow{PC}|^2 = |\overrightarrow{PO}|^2$ より、

$$ x^2 + y^2 + (z-1)^2 = x^2 + y^2 + z^2 $$

展開して整理すると、

$$ -2z + 1 = 0 $$

$$ z = \frac{1}{2} $$

これらより、点 $P$ の座標は $\left(x, x, \frac{1}{2}\right)$ と表される。

これを第 $3$ の条件 $|\overrightarrow{PA}|^2 = r^2|\overrightarrow{PO}|^2$ に代入する。

$$ (x-1)^2 + x^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = r^2\left\{x^2 + x^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right\} $$

展開して整理していく。

$$ x^2 - 2x + 1 + x^2 + \frac{1}{4} = r^2\left(2x^2 + \frac{1}{4}\right) $$

$$ 2x^2 - 2x + \frac{5}{4} = 2r^2x^2 + \frac{r^2}{4} $$

$$ 2(1-r^2)x^2 - 2x + \frac{5-r^2}{4} = 0 $$

条件を満たす点 $P$ が $2$ つ存在するためには、この $x$ についての方程式が異なる $2$ つの実数解をもてばよい。まず、この方程式が $2$ 次方程式である必要があるため、$1-r^2 \neq 0$ である。 $r>0$ より、

$$ r \neq 1 $$

（もし $r=1$ の場合、$x$ の $1$ 次方程式 $-2x + 1 = 0$ となり、解が $1$ つになってしまうため不適である。）

$r \neq 1$ のとき、上の $2$ 次方程式の判別式を $D$ とすると、$D>0$ が条件となる。

$$ \frac{D}{4} = (-1)^2 - 2(1-r^2) \cdot \frac{5-r^2}{4} $$

$$ = 1 - \frac{(1-r^2)(5-r^2)}{2} $$

$$ = \frac{2 - (5 - 6r^2 + r^4)}{2} $$

$$ = \frac{-r^4 + 6r^2 - 3}{2} $$

したがって、$D>0$ より、

$$ -r^4 + 6r^2 - 3 > 0 $$

$$ r^4 - 6r^2 + 3 < 0 $$

$r^2 = t$ とおくと、$t^2 - 6t + 3 < 0$ となる。これを解くと、

$$ 3 - \sqrt{6} < t < 3 + \sqrt{6} $$

すなわち、

$$ 3 - \sqrt{6} < r^2 < 3 + \sqrt{6} $$

$r>0$ であり、$3 - \sqrt{6} > 0$ であるから、各辺の正の平方根をとって、

$$ \sqrt{3 - \sqrt{6}} < r < \sqrt{3 + \sqrt{6}} $$

ここで、$r \neq 1$ の条件を考慮する。$\sqrt{3 - \sqrt{6}} < 1 < \sqrt{3 + \sqrt{6}}$ であるから、$r=1$ はこの範囲に含まれている。よって、求める $r$ の条件は、

$$ \sqrt{3 - \sqrt{6}} < r < 1, \quad 1 < r < \sqrt{3 + \sqrt{6}} $$

となる。

さらに、条件を満たすときの点 $P$ の座標を求める。 $2$ 次方程式 $2(1-r^2)x^2 - 2x + \frac{5-r^2}{4} = 0$ を解の公式を用いて解くと、

$$ x = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{D}{4}}}{2(1-r^2)} $$

$$ = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{-r^4 + 6r^2 - 3}{2}}}{2(1-r^2)} $$

分母分子に $2$ を掛けてルートの中を整理すると、

$$ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{\frac{-r^4 + 6r^2 - 3}{2}}}{4(1-r^2)} $$

$$ = \frac{2 \pm \sqrt{2(-r^4 + 6r^2 - 3)}}{4(1-r^2)} $$

$$ = \frac{2 \pm \sqrt{-2r^4 + 12r^2 - 6}}{4(1-r^2)} $$

したがって、求める $2$ 点の座標は、

$$ \left( \frac{2 \pm \sqrt{-2r^4 + 12r^2 - 6}}{4(1-r^2)}, \frac{2 \pm \sqrt{-2r^4 + 12r^2 - 6}}{4(1-r^2)}, \frac{1}{2} \right) $$

である。

解説

ベクトルの大きさに関する条件が与えられているが、原点と各座標軸上の点が設定されているため、成分表示にして代数的に処理するのが最も確実な解法である。 $|\overrightarrow{PA}| = |\overrightarrow{PB}|$ のような条件は、「点 $A, B$ から等距離にある点 $P$ の集合」すなわち「線分 $AB$ の垂直二等分面」を表すという図形的な意味を把握しておくと、計算結果（$x=y$ など）の見通しが立ちやすい。また、$r$ のような文字定数が方程式の最高次の係数に含まれる場合、その係数が $0$ になる場合（本問では $r=1$ のとき）の吟味を忘れないようにすることが重要なポイントとなる。判別式は $2$ 次方程式に対してのみ適用できるため、前提条件の確認を徹底したい。