北海道大学 1989年 文系 第2問 解説

方針・初手

空間図形の問題において、座標軸に依存しないベクトルの設定が有効である。問題文では点 $A$ が $z$ 軸上に指定されており、直方体が空間内で斜めに配置されているため、各頂点の座標を単純な成分で置くと計算が煩雑になる。直方体の互いに垂直な3辺を基底ベクトルとして設定し、内積の性質を利用してアプローチする。

点 $A$ が $z$ 軸上にあるという条件は、原点 $G$ と結んだ直線 $GA$ が $z$ 軸そのものであることを意味し、すなわち「直線 $GA$ は $xy$ 平面と垂直である」と言い換えられる。この事実を用いて、$xy$ 平面への正射影をベクトルで処理する。

解法1

(1)

点 $G$ を原点とする。直方体の辺に沿ったベクトルをそれぞれ以下のように定める。

$$ \overrightarrow{GF} = \vec{u}, \quad \overrightarrow{GH} = \vec{v}, \quad \overrightarrow{GC} = \vec{w} $$

直方体であるから、これら3つのベクトルは互いに垂直であり、内積は $0$ である。

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{w} \cdot \vec{u} = 0 $$

また、底面 $EFGH$ は正方形であるから、隣り合う辺の長さは等しい。

$$ |\vec{u}| = |\vec{v}| $$

各頂点の位置ベクトルを $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ を用いて表す。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{GA} &= \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{EA} \\ &= \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} \end{aligned} $$

$$ \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{FB} = \vec{u} + \vec{w} $$

$$ \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{HD} = \vec{v} + \vec{w} $$

よって、ベクトル $\overrightarrow{DB}$ は次のように表せる。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{DB} &= \overrightarrow{GB} - \overrightarrow{GD} \\ &= (\vec{u} + \vec{w}) - (\vec{v} + \vec{w}) \\ &= \vec{u} - \vec{v} \end{aligned} $$

内積 $\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{GA}$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{GA} &= (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}) \\ &= |\vec{u}|^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} - \vec{v} \cdot \vec{u} - |\vec{v}|^2 - \vec{v} \cdot \vec{w} \end{aligned} $$

ここで、内積が $0$ であることと $|\vec{u}| = |\vec{v}|$ を用いる。

$$ \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{GA} = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 = 0 $$

$\overrightarrow{DB} \neq \vec{0}$, $\overrightarrow{GA} \neq \vec{0}$ であるから、$\overrightarrow{DB} \perp \overrightarrow{GA}$ となる。 したがって、$\overrightarrow{DB}$ と $\overrightarrow{GA}$ は垂直である。

(2)

点 $G$ は原点であり、点 $A$ は $z$ 軸上の点であるため、直線 $GA$ は $z$ 軸と一致する。 したがって、$xy$ 平面は直線 $GA$ を法線とする平面である。

任意の空間ベクトル $\vec{p}$ を、$xy$ 平面に平行な成分 $\vec{p}_{xy}$ と、$z$ 軸（すなわち直線 $GA$）に平行な成分 $\vec{p}_z$ に分解すると、$\vec{p} = \vec{p}_{xy} + \vec{p}_z$ と書ける。 点 $A', B', C', D'$ はそれぞれ点 $A, B, C, D$ を $xy$ 平面に正射影した点である。任意の2点 $P, Q$ について、ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ の $xy$ 平面への正射影ベクトル $\overrightarrow{P'Q'}$ は、$\overrightarrow{PQ}$ の $xy$ 平面に平行な成分に等しい。

四角形 $ABCD$ において、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{GB} - \overrightarrow{GA} = -\vec{v}$, $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{GC} - \overrightarrow{GD} = -\vec{v}$ より $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ である。 これらの正射影ベクトルについても $\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{D'C'}$ が成り立つため、四辺形 $A'B'C'D'$ は平行四辺形である。

(1)より $\overrightarrow{DB} \perp \overrightarrow{GA}$ である。$\overrightarrow{GA}$ は $z$ 軸方向のベクトルであるから、$\overrightarrow{DB}$ は $z$ 軸に垂直、すなわち $xy$ 平面に平行なベクトルである。 したがって、$\overrightarrow{DB}$ の $xy$ 平面への正射影ベクトルは $\overrightarrow{DB}$ 自身と等しくなり、$\overrightarrow{D'B'} = \overrightarrow{DB}$ が成り立つ。

四角形 $ABCD$ は、正方形 $EFGH$ と合同な正方形であるため、その対角線は直交する。ゆえに $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$ である。 $\overrightarrow{AC}$ を $xy$ 平面に平行な成分 $\overrightarrow{A'C'}$ と、$z$ 軸に平行な成分 $\vec{h}$ に分解する。

$$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A'C'} + \vec{h} $$

ここで、$\vec{h}$ は $\overrightarrow{GA}$ と平行なベクトルである。これと $\overrightarrow{D'B'} = \overrightarrow{DB}$ を用いて内積を計算する。

$$ \begin{aligned} 0 &= \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} \\ &= (\overrightarrow{A'C'} + \vec{h}) \cdot \overrightarrow{D'B'} \\ &= \overrightarrow{A'C'} \cdot \overrightarrow{D'B'} + \vec{h} \cdot \overrightarrow{D'B'} \end{aligned} $$

ベクトル $\vec{h}$ は $z$ 軸に平行であり、$\overrightarrow{D'B'}$ は $xy$ 平面上のベクトルであるから、これらは垂直であり $\vec{h} \cdot \overrightarrow{D'B'} = 0$ である。

$$ \overrightarrow{A'C'} \cdot \overrightarrow{D'B'} = 0 $$

これは、平行四辺形 $A'B'C'D'$ の対角線が直交することを意味する。 対角線が直交する平行四辺形はひし形であるため、四辺形 $A'B'C'D'$ はひし形である。

解法2

(2)の別解（各辺の長さを比較する方針）

$xy$ 平面の法線ベクトルは、直線 $GA$ の方向ベクトル $\overrightarrow{GA}$ である。 これと同じ向きの単位ベクトルを $\vec{n}$ とおく。

$$ \vec{n} = \frac{\overrightarrow{GA}}{|\overrightarrow{GA}|} $$

任意のベクトル $\vec{p}$ の $xy$ 平面への正射影ベクトル $\vec{p}'$ の大きさの2乗は、三平方の定理より次のように計算できる。

$$ |\vec{p}'|^2 = |\vec{p}|^2 - (\vec{p} \cdot \vec{n})^2 $$

四辺形 $A'B'C'D'$ の各辺のベクトルは、四角形 $ABCD$ の対応する辺のベクトルの正射影である。 解法1のベクトルの設定を用いると、四角形 $ABCD$ の隣り合う2辺のベクトルは以下のように表される。

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{GB} - \overrightarrow{GA} = -\vec{v} $$

$$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{GD} - \overrightarrow{GA} = -\vec{u} $$

また、$\overrightarrow{GA} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$ である。 ここで $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ は互いに垂直であり、底面 $EFGH$ が正方形であることから $|\vec{u}| = |\vec{v}|$ である。

$\overrightarrow{AB}$ の正射影 $\overrightarrow{A'B'}$ の大きさを求める。

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{GA} = (-\vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}) = -|\vec{v}|^2 $$

よって、

$$ |\overrightarrow{A'B'}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 - \left( \overrightarrow{AB} \cdot \frac{\overrightarrow{GA}}{|\overrightarrow{GA}|} \right)^2 = |\vec{v}|^2 - \frac{|\vec{v}|^4}{|\overrightarrow{GA}|^2} $$

同様に、$\overrightarrow{AD}$ の正射影 $\overrightarrow{A'D'}$ の大きさを求める。

$$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{GA} = (-\vec{u}) \cdot (\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}) = -|\vec{u}|^2 $$

よって、

$$ |\overrightarrow{A'D'}|^2 = |\overrightarrow{AD}|^2 - \left( \overrightarrow{AD} \cdot \frac{\overrightarrow{GA}}{|\overrightarrow{GA}|} \right)^2 = |\vec{u}|^2 - \frac{|\vec{u}|^4}{|\overrightarrow{GA}|^2} $$

$|\vec{u}| = |\vec{v}|$ であるから、上記2つの式より $|\overrightarrow{A'B'}|^2 = |\overrightarrow{A'D'}|^2$、すなわち $|\overrightarrow{A'B'}| = |\overrightarrow{A'D'}|$ が成り立つ。

解法1と同様に、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ よりその正射影ベクトルについて $\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{D'C'}$ が成り立つため、四辺形 $A'B'C'D'$ は平行四辺形である。 隣り合う2辺の長さが等しい平行四辺形はひし形であるから、四辺形 $A'B'C'D'$ はひし形である。

解説

空間内の直方体などの図形を扱う際、設定された座標軸に無理に当てはめて成分計算を行おうとすると、回転角や文字の置き方が複雑になることが多い。本問のように「$A$ が $z$ 軸上」といった条件は、「ベクトル $\overrightarrow{GA}$ が $xy$ 平面の法線ベクトルとしてはたらく」という図形的な性質に読み替えることで、基底ベクトルによる立式が活きる。

(1) の結論「$\overrightarrow{DB}$ が $z$ 軸に垂直である」ことは、(2) で「対角線 $\overrightarrow{DB}$ が $xy$ 平面と平行に保たれるため、正射影してもベクトルが不変である」ことを保証する強い条件となっている。正方形の対角線が直交するという性質と、正射影の性質を組み合わせて論証するアプローチは、空間ベクトルの典型的な思考法である。

答え

(1) 直方体の辺に沿ったベクトルを用いて内積を計算することで、$\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{GA} = 0$ を示し、$\overrightarrow{DB}$ と $\overrightarrow{GA}$ が垂直であることを証明した。

(2) $xy$ 平面への正射影の性質を用いて、四辺形 $A'B'C'D'$ が平行四辺形であること、および対角線 $A'C'$ と $B'D'$ が直交すること（または隣り合う辺の長さが等しいこと）を示し、ひし形であることを証明した。