九州大学 1998年 文系 第6問 解説

方針・初手

正四面体の辺の長さや内角の性質を用いて、各ベクトルの大きさおよび内積を明らかにしておく。点 $P, Q, R, S$ の位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表すことがすべての出発点となる。後半の (2) では (1) の結果や設定を生かしながら、平行四辺形の条件や、外接球の定義（中心から各頂点までの距離が等しい）に従って計算を進める。

解法1

準備として、辺の長さが $1$ の正四面体 $OABC$ において、

$$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$$

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 1 \times 1 \times \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$

が成り立つ。

(1)

(i) 点 $P, Q, R, S$ の位置ベクトルはそれぞれ以下のように表される。

$$\overrightarrow{OP} = \frac{m}{m+n} \vec{a}$$

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{n \vec{b} + m \vec{c}}{m+n}$$

$$\overrightarrow{OR} = \frac{n}{m+n} \vec{c}$$

$$\overrightarrow{OS} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m+n}$$

したがって、$\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{RS}$ は、

$$\begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \frac{-m \vec{a} + n \vec{b} + m \vec{c}}{m+n} \\ \overrightarrow{RS} &= \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b} - n \vec{c}}{m+n} \end{aligned}$$

(ii) 上述の通り、$\triangle OAB$ は一辺の長さが $1$ の正三角形であるから、

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 60^\circ = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

(iii) (i) で求めた $\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{RS}$ の内積を計算する。

$$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{RS} = \frac{1}{(m+n)^2} (-m \vec{a} + n \vec{b} + m \vec{c}) \cdot (n \vec{a} + m \vec{b} - n \vec{c})$$

分子を展開すると、

$$\begin{aligned} (-m \vec{a} + n \vec{b} + m \vec{c}) \cdot (n \vec{a} + m \vec{b} - n \vec{c}) &= -mn |\vec{a}|^2 - m^2 \vec{a} \cdot \vec{b} + mn \vec{c} \cdot \vec{a} \\ &\quad + n^2 \vec{a} \cdot \vec{b} + mn |\vec{b}|^2 - n^2 \vec{b} \cdot \vec{c} \\ &\quad + mn \vec{c} \cdot \vec{a} + m^2 \vec{b} \cdot \vec{c} - mn |\vec{c}|^2 \end{aligned}$$

ここで、$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 1$、$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}$ を代入する。

$$\begin{aligned} &= -mn - \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2}mn + \frac{1}{2}n^2 + mn - \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}mn + \frac{1}{2}m^2 - mn \\ &= \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)m^2 + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)n^2 + \left(-1 + \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} - 1\right)mn \\ &= 0 \end{aligned}$$

よって $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{RS} = 0$ となる。 $m, n > 0$ より $P, Q$ および $R, S$ はそれぞれ異なる点であるから $\overrightarrow{PQ} \neq \vec{0}, \overrightarrow{RS} \neq \vec{0}$ である。 したがって、$\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{RS}$ は垂直である。

(2)

(i) $m=n$ のとき、(1)(i) の結果から、

$$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \vec{a}$$

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c})$$

$$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{2} \vec{c}$$

$$\overrightarrow{OS} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$$

$\overrightarrow{PS}$ と $\overrightarrow{RQ}$ を計算すると、

$$\begin{aligned} \overrightarrow{PS} &= \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) - \frac{1}{2} \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b} \\ \overrightarrow{RQ} &= \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR} = \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c}) - \frac{1}{2} \vec{c} = \frac{1}{2} \vec{b} \end{aligned}$$

これより $\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{RQ}$ が成り立つ。また点 $P$ と $R$ は異なる点であるため、四角形 $PSQR$ は向かい合う1組の辺が平行で長さが等しい。 ゆえに四角形 $PSQR$ は平行四辺形となり、点 $P, Q, R, S$ は同一平面上にある。

(ii) $G$ は対角線 $PQ$ と $RS$ の交点であり、四角形 $PSQR$ は平行四辺形であるから、$G$ は対角線の中点に一致する。 よって、

$$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}}{2} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c}) \right\} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$$

(iii) 点 $G$ が正四面体 $OABC$ に外接する球の中心であることを示すには、$G$ から各頂点 $O, A, B, C$ までの距離がすべて等しいこと、すなわち $|\overrightarrow{GO}| = |\overrightarrow{GA}| = |\overrightarrow{GB}| = |\overrightarrow{GC}|$ を示せばよい。

まず $|\overrightarrow{GO}|^2$ を計算する。

$$\overrightarrow{GO} = -\overrightarrow{OG} = -\frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$$

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{GO}|^2 &= \frac{1}{16} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 \\ &= \frac{1}{16} \left\{ |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \right\} \\ &= \frac{1}{16} \left\{ 1 + 1 + 1 + 2 \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \right\} \\ &= \frac{1}{16} (3 + 3) = \frac{3}{8} \end{aligned}$$

次に $|\overrightarrow{GA}|^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} \overrightarrow{GA} &= \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OG} = \vec{a} - \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \\ &= \frac{1}{4} (3\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{GA}|^2 &= \frac{1}{16} |3\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}|^2 \\ &= \frac{1}{16} \left( 9|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 6\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{b}\cdot\vec{c} - 6\vec{c}\cdot\vec{a} \right) \\ &= \frac{1}{16} \left\{ 9(1) + 1 + 1 - 6\left(\frac{1}{2}\right) + 2\left(\frac{1}{2}\right) - 6\left(\frac{1}{2}\right) \right\} \\ &= \frac{1}{16} (11 - 3 + 1 - 3) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \end{aligned}$$

同様にして、$|\overrightarrow{GB}|^2$ と $|\overrightarrow{GC}|^2$ も対称性または以下の計算から $\frac{3}{8}$ となる。

$$\overrightarrow{GB} = \frac{1}{4} (-\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c}), \quad |\overrightarrow{GB}|^2 = \frac{1}{16} (1 + 9 + 1 - 3 - 3 + 1) = \frac{3}{8}$$

$$\overrightarrow{GC} = \frac{1}{4} (-\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c}), \quad |\overrightarrow{GC}|^2 = \frac{1}{16} (1 + 1 + 9 + 1 - 3 - 3) = \frac{3}{8}$$

以上より、

$$|\overrightarrow{GO}| = |\overrightarrow{GA}| = |\overrightarrow{GB}| = |\overrightarrow{GC}| = \frac{\sqrt{6}}{4}$$

が成り立つので、$G$ は正四面体 $OABC$ に外接する球の中心である。 また、その球の半径は $|\overrightarrow{GO}|$ の値となるため、$\frac{\sqrt{6}}{4}$ である。

解説

正四面体の対称性を利用した空間ベクトルの基本問題である。 (1)(iii) における内積の計算では、$|\vec{a}|^2 = 1$ 等と $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ 等を正しく代入し、慎重に展開すれば $0$ になることが確認できる。 (2)(i) での同一平面上にあることの証明は、$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{RQ}$ などを示し、「四角形が平行四辺形であること」から導くのが最も簡明である。(2)(iii) の外接球の証明も、球の定義である「中心から各頂点までの距離が一定」であることを地道に計算して示す、空間ベクトルの標準的な解法である。

答え

(1) (i) $\overrightarrow{PQ} = \frac{-m \vec{a} + n \vec{b} + m \vec{c}}{m+n}$, $\quad \overrightarrow{RS} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b} - n \vec{c}}{m+n}$ (ii) $\frac{1}{2}$ (iii) 垂直である。

(2) (i) （証明は解法参照） (ii) $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ (iii) （証明は解法参照）、半径は $\frac{\sqrt{6}}{4}$