北海道大学 2013年 文系 第3問 解説

方針・初手

各ベクトルの成分を文字でおいて、与えられた内積と大きさの条件を連立方程式として解く。$\vec{a} = (1, 0, 0)$ という具体的な成分が与えられているため、他のベクトルの $x$ 成分が内積の条件から直接定まることを利用して順次成分を求めていく。

解法1

(1)

$\vec{b}$ は $xy$ 平面上にあるため、$\vec{b} = (b_1, b_2, 0)$ とおける。 $\vec{b}$ の $y$ 成分は正であるから、$b_2 > 0$ である。 $\vec{a} \cdot \vec{b} = p$ であり、$\vec{a} = (1, 0, 0)$ であるから、内積を計算すると、

$$ 1 \cdot b_1 + 0 \cdot b_2 + 0 \cdot 0 = p $$

よって、$b_1 = p$ となる。 $|\vec{b}| = 1$ より $|\vec{b}|^2 = 1$ であるから、成分を用いて表すと、

$$ b_1^2 + b_2^2 = 1 $$

これに $b_1 = p$ を代入して、

$$ p^2 + b_2^2 = 1 $$

$$ b_2^2 = 1 - p^2 $$

$b_2 > 0$ であるから、実数 $b_2$ が存在するためには $b_2^2 > 0$ でなければならない。 よって、$1 - p^2 > 0$ が成り立ち、$p^2 < 1$ すなわち $|p| < 1$ が示された。 このとき $b_2 = \sqrt{1 - p^2}$ となるので、$\vec{b}$ の成分表示は、

$$ \vec{b} = (p, \sqrt{1 - p^2}, 0) $$

(2)

$\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)$、$\vec{d} = (d_1, d_2, d_3)$ とおく。 $\vec{a} \cdot \vec{c} = p$ より $c_1 = p$。 $\vec{a} \cdot \vec{d} = p$ より $d_1 = p$。 また、$\vec{b} \cdot \vec{c} = p$ であり、(1) で求めた $\vec{b}$ の成分を用いると、

$$ p c_1 + \sqrt{1 - p^2} c_2 = p $$

$c_1 = p$ を代入して整理すると、

$$ p^2 + \sqrt{1 - p^2} c_2 = p $$

$$ \sqrt{1 - p^2} c_2 = p(1 - p) $$

(1) より $|p| < 1$ であるから $\sqrt{1 - p^2} \neq 0$ となり、両辺を割ることができる。

$$ c_2 = \frac{p(1 - p)}{\sqrt{1 - p^2}} = \frac{p(1 - p)}{\sqrt{(1 - p)(1 + p)}} = p \sqrt{\frac{1 - p}{1 + p}} $$

$\vec{b} \cdot \vec{d} = p$ についても同様にして、

$$ d_2 = p \sqrt{\frac{1 - p}{1 + p}} $$

次に、$|\vec{c}| = 1$ より $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 1$ であるから、求めた $c_1, c_2$ を代入すると、

$$ p^2 + \frac{p^2(1 - p)}{1 + p} + c_3^2 = 1 $$

$c_3^2$ について解き、右辺を通分して整理する。

$$ c_3^2 = 1 - p^2 - \frac{p^2(1 - p)}{1 + p} $$

$$ c_3^2 = \frac{(1 - p^2)(1 + p) - p^2(1 - p)}{1 + p} $$

$$ c_3^2 = \frac{(1 - p)(1 + p)^2 - p^2(1 - p)}{1 + p} $$

$$ c_3^2 = \frac{1 - p}{1 + p} \left\{ (1 + p)^2 - p^2 \right\} $$

$$ c_3^2 = \frac{(1 - p)(2p + 1)}{1 + p} $$

$\vec{c}$ の $z$ 成分は正であるから、$c_3 > 0$ であり、

$$ c_3 = \sqrt{\frac{(1 - p)(2p + 1)}{1 + p}} $$

$|\vec{d}| = 1$ からも同様に $d_3^2 = c_3^2$ が得られる。 $\vec{c}$ と $\vec{d}$ は相異なるベクトルであり、$c_1 = d_1$ かつ $c_2 = d_2$ であるから、$c_3 \neq d_3$ でなければならない。 したがって、$d_3 = -c_3$ となり、

$$ d_3 = - \sqrt{\frac{(1 - p)(2p + 1)}{1 + p}} $$

以上より、$\vec{c}$ と $\vec{d}$ の成分表示は、

$$ \vec{c} = \left( p, p \sqrt{\frac{1 - p}{1 + p}}, \sqrt{\frac{(1 - p)(2p + 1)}{1 + p}} \right) $$

$$ \vec{d} = \left( p, p \sqrt{\frac{1 - p}{1 + p}}, - \sqrt{\frac{(1 - p)(2p + 1)}{1 + p}} \right) $$

(3)

$\vec{c} \cdot \vec{d} = p$ であるから、(2) で求めた成分を用いて内積を計算すると、

$$ p^2 + p^2 \frac{1 - p}{1 + p} - \frac{(1 - p)(2p + 1)}{1 + p} = p $$

分母を払うために、両辺に $1 + p$ を掛ける（$|p| < 1$ より $1 + p \neq 0$）。

$$ p^2(1 + p) + p^2(1 - p) - (1 - p)(2p + 1) = p(1 + p) $$

展開して整理する。

$$ (p^2 + p^3) + (p^2 - p^3) - (2p + 1 - 2p^2 - p) = p + p^2 $$

$$ 2p^2 - (-2p^2 + p + 1) = p + p^2 $$

$$ 4p^2 - p - 1 = p^2 + p $$

$$ 3p^2 - 2p - 1 = 0 $$

因数分解すると、

$$ (3p + 1)(p - 1) = 0 $$

(1) より $|p| < 1$ であるから $p \neq 1$ となり、

$$ p = - \frac{1}{3} $$

解説

空間ベクトルの成分を文字でおいて条件を処理していく標準的な問題である。$\vec{a} = (1, 0, 0)$ という設定から、すべてのベクトルの $x$ 成分が内積によって即座に決定される構造になっている。 (2) において、$c_3$ および $d_3$ を求める際に生じる平方根の中身の計算がやや煩雑になるため、共通因数 $(1-p)$ でくくるなどの工夫をして計算ミスを防ぐことが重要である。また、$\vec{c}$ と $\vec{d}$ が相異なるという条件から、$z$ 成分の符号が異なることを正確に論証する必要がある。

答え

(1) $|p|<1$

後半：$\vec{b} = (p, \sqrt{1 - p^2}, 0)$

(2) $\vec{c} = \left( p, p \sqrt{\frac{1 - p}{1 + p}}, \sqrt{\frac{(1 - p)(2p + 1)}{1 + p}} \right)$ $\vec{d} = \left( p, p \sqrt{\frac{1 - p}{1 + p}}, - \sqrt{\frac{(1 - p)(2p + 1)}{1 + p}} \right)$

(3) $p = - \frac{1}{3}$