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北海道大学 2013年文系第1問解説

方針・初手

$t = \sin x + \cos x$ とおく、対称式を含む三角関数の問題の定石に従う。$t$ を2乗することで $\sin x \cos x$ を $t$ で表し、$f(x)$ を $t$ の2次関数に帰着させる。また、$t$ の取り得る値の範囲は、三角関数の合成を用いて求める。最後に、得られた2次関数の最大・最小を、求めた定義域のもとで考える。

解法1

(1)

与えられた式 $t = \sin x + \cos x$ の両辺を2乗すると、

$$ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 $$

$$ t^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x $$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ であるから、

$$ t^2 = 1 + 2\sin x \cos x $$

$$ \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2} $$

これを与式に代入して、

$$ f(x) = \sqrt{2} \cdot \frac{t^2 - 1}{2} + t $$

$$ f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}t^2 + t - \frac{\sqrt{2}}{2} $$

(2)

$t = \sin x + \cos x$ に三角関数の合成を用いると、

$$ t = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ より、角 $x + \frac{\pi}{4}$ の取り得る範囲は、

$$ \frac{\pi}{4} \leqq x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{9}{4}\pi $$

この範囲において、$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ は $-1$ から $1$ までのすべての値をとる。すなわち、

$$ -1 \leqq \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leqq 1 $$

辺々に $\sqrt{2}$ を掛けて、

$$ -\sqrt{2} \leqq \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leqq \sqrt{2} $$

よって、$t$ の取り得る値の範囲は、

$$ -\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2} $$

(3)

(1)で求めた $f(x)$ を $t$ の関数とみなし、$g(t)$ とおく。$g(t)$ を平方完成すると、

$$ g(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( t^2 + \sqrt{2}t \right) - \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ g(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( t + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 - \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ g(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( t + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{2\sqrt{2}}{4} $$

$$ g(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( t + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 - \frac{3\sqrt{2}}{4} $$

(2)より、定義域は $-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ である。この放物線の軸は $t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、これは定義域に含まれる。したがって、$g(t)$ は頂点である $t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき最小値をとり、軸からより遠い端点である $t = \sqrt{2}$ のとき最大値をとる。

最小値について、$t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、最小値は $-\frac{3\sqrt{2}}{4}$ である。このときの $x$ を求める。

$$ \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1}{2} $$

$\frac{\pi}{4} \leqq x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{9}{4}\pi$ であるから、

$$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi $$

$$ x = \frac{11}{12}\pi, \frac{19}{12}\pi $$

最大値について、$t = \sqrt{2}$ のときの $g(t)$ の値を求める。

$$ g(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $$

このときの $x$ を求める。

$$ \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} $$

$$ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1 $$

$\frac{\pi}{4} \leqq x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{9}{4}\pi$ であるから、

$$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $$

$$ x = \frac{\pi}{4} $$

解説

$\sin x$ と $\cos x$ の対称式で表された関数の最大・最小を求める典型的な問題である。和 $t = \sin x + \cos x$ とおくことで、積 $\sin x \cos x$ を $t$ で表すことができる。この置き換えを行った際、変数の取り得る範囲（定義域）が変わることに注意が必要であり、(2)の誘導で求めた範囲のもとで、(3)の2次関数の最大・最小を考える流れとなっている。軸の位置と定義域の関係に気をつけてグラフの概形を把握することがポイントとなる。