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北海道大学 2019年理系第1問解説

方針・初手

(1) は点 $Q$ が平面 $\alpha$ 上にある条件と、直線 $PQ$ が平面 $\alpha$ に垂直である条件を立式します。$\overrightarrow{OQ}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の実数倍の和で表す方法と、平面 $\alpha$ の法線ベクトルを利用する方法があります。

(2) は (1) で求めたベクトル $\overrightarrow{OQ}$ の係数が、三角形の周または内部にあるための条件を満たすように不等式を解きます。

解法1

(1)

点 $Q$ は平面 $\alpha$ 上にあるから、実数 $s, t$ を用いて次のように表せる。

$$ \overrightarrow{OQ} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} $$

$\overrightarrow{OA} = (-1, 2, 0)$、$\overrightarrow{OB} = (2, -2, 1)$ より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ} &= s(-1, 2, 0) + t(2, -2, 1) \\ &= (-s+2t, 2s-2t, t) \end{aligned} $$

また、$\overrightarrow{OP} = (p, -1, 2)$ より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} \\ &= (-s+2t-p, 2s-2t+1, t-2) \end{aligned} $$

直線 $PQ$ は平面 $\alpha$ に垂直であるから、$\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{OA}$ かつ $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{OB}$ である。したがって、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ かつ $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ が成り立つ。

$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ より、

$$ -(-s+2t-p) + 2(2s-2t+1) + 0\cdot(t-2) = 0 $$

整理して、

$$ 5s - 6t + p + 2 = 0 \quad \cdots ① $$

$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ より、

$$ 2(-s+2t-p) - 2(2s-2t+1) + 1\cdot(t-2) = 0 $$

整理して、

$$ -6s + 9t - 2p - 4 = 0 \quad \cdots ② $$

①と②を連立して $s, t$ について解く。$① \times 3 + ② \times 2$ より、

$$ (15s - 18t + 3p + 6) + (-12s + 18t - 4p - 8) = 0 $$

$$ 3s - p - 2 = 0 $$

よって、$s = \frac{p+2}{3}$ である。これを①に代入して $t$ を求めると、

$$ 5\left(\frac{p+2}{3}\right) - 6t + p + 2 = 0 $$

$$ 6t = \frac{5p+10+3p+6}{3} = \frac{8p+16}{3} $$

よって、$t = \frac{4p+8}{9}$ である。これらを $\overrightarrow{OQ}$ の成分の式に代入する。

$$ x = -s + 2t = -\frac{p+2}{3} + \frac{8p+16}{9} = \frac{-3p-6+8p+16}{9} = \frac{5p+10}{9} $$

$$ y = 2s - 2t = \frac{2p+4}{3} - \frac{8p+16}{9} = \frac{6p+12-8p-16}{9} = \frac{-2p-4}{9} $$

$$ z = t = \frac{4p+8}{9} $$

したがって、点 $Q$ の座標は $\left( \frac{5p+10}{9}, \frac{-2p-4}{9}, \frac{4p+8}{9} \right)$ である。

(2)

点 $Q$ が $\triangle OAB$ の周または内部にあるための条件は、$\overrightarrow{OQ} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ と表したとき、

$$ s \geqq 0 \quad \text{かつ} \quad t \geqq 0 \quad \text{かつ} \quad s + t \leqq 1 $$

が成り立つことである。(1) で求めた $s, t$ を代入する。

$s \geqq 0$ より、

$$ \frac{p+2}{3} \geqq 0 \implies p \geqq -2 $$

$t \geqq 0$ より、

$$ \frac{4p+8}{9} \geqq 0 \implies p \geqq -2 $$

$s + t \leqq 1$ より、

$$ \frac{p+2}{3} + \frac{4p+8}{9} \leqq 1 $$

$$ \frac{3p+6+4p+8}{9} \leqq 1 $$

$$ 7p + 14 \leqq 9 $$

$$ p \leqq -\frac{5}{7} $$

これらの共通範囲をとると、

$$ -2 \leqq p \leqq -\frac{5}{7} $$

問題の条件より $p$ は負の実数であるから $p < 0$ であり、求めた範囲はこれを満たす。したがって、求める $p$ の範囲は $-2 \leqq p \leqq -\frac{5}{7}$ である。

解法2

(1)

平面 $\alpha$ に垂直なベクトル（法線ベクトル）の1つを $\vec{n} = (a, b, c)$ とおく。

$\vec{n} \perp \overrightarrow{OA}$ かつ $\vec{n} \perp \overrightarrow{OB}$ より、$\vec{n} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ かつ $\vec{n} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ が成り立つ。

$$ -a + 2b = 0 \implies a = 2b $$

$$ 2a - 2b + c = 0 \implies 4b - 2b + c = 0 \implies c = -2b $$

$b = 1$ とすると、$\vec{n} = (2, 1, -2)$ となる。

点 $Q$ は点 $P$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足であるから、直線 $PQ$ は法線ベクトル $\vec{n}$ に平行である。よって、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP} + k\vec{n}$ と表せる。

$$ \overrightarrow{OQ} = (p, -1, 2) + k(2, 1, -2) = (p+2k, k-1, -2k+2) $$

また、平面 $\alpha$ は原点 $O$ を通るため、平面 $\alpha$ 上の点 $Q$ の位置ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ は法線ベクトル $\vec{n}$ と垂直である。よって、$\overrightarrow{OQ} \cdot \vec{n} = 0$ が成り立つ。

$$ 2(p+2k) + 1(k-1) - 2(-2k+2) = 0 $$

$$ 2p + 4k + k - 1 + 4k - 4 = 0 $$

$$ 9k + 2p - 5 = 0 $$

これより、$k = \frac{5-2p}{9}$ である。これを $\overrightarrow{OQ}$ の成分に代入する。

$$ x = p + 2\left(\frac{5-2p}{9}\right) = \frac{9p+10-4p}{9} = \frac{5p+10}{9} $$

$$ y = \frac{5-2p}{9} - 1 = \frac{5-2p-9}{9} = \frac{-2p-4}{9} $$

$$ z = -2\left(\frac{5-2p}{9}\right) + 2 = \frac{-10+4p+18}{9} = \frac{4p+8}{9} $$

したがって、点 $Q$ の座標は $\left( \frac{5p+10}{9}, \frac{-2p-4}{9}, \frac{4p+8}{9} \right)$ である。

(2)

点 $Q$ が $\triangle OAB$ の周または内部にある条件を調べるため、$\overrightarrow{OQ}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す。(1) で求めた $\overrightarrow{OQ}$ を変形する。

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{1}{9}(5p+10, -2p-4, 4p+8) = \frac{p+2}{9}(5, -2, 4) $$

ここで、$(5, -2, 4) = u\overrightarrow{OA} + v\overrightarrow{OB}$ となる実数 $u, v$ を探す。

$$ (5, -2, 4) = u(-1, 2, 0) + v(2, -2, 1) = (-u+2v, 2u-2v, v) $$

$z$ 成分より $v = 4$。$y$ 成分より $2u - 2(4) = -2 \implies 2u = 6 \implies u = 3$。これらは $x$ 成分 $-3 + 2(4) = 5$ も満たす。

したがって、$(5, -2, 4) = 3\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB}$ と表せる。

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{p+2}{9}(3\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB}) = \frac{p+2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{4(p+2)}{9}\overrightarrow{OB} $$

点 $Q$ が $\triangle OAB$ の周または内部にある条件は、各係数について

$$ \frac{p+2}{3} \geqq 0 \quad \text{かつ} \quad \frac{4(p+2)}{9} \geqq 0 \quad \text{かつ} \quad \frac{p+2}{3} + \frac{4(p+2)}{9} \leqq 1 $$

が成り立つことである。

$\frac{p+2}{3} \geqq 0$ より $p \geqq -2$。

$\frac{4(p+2)}{9} \geqq 0$ は $p \geqq -2$ と同値。

和の条件について、

$$ \frac{3(p+2) + 4(p+2)}{9} \leqq 1 $$

$$ 7p + 14 \leqq 9 $$

$$ p \leqq -\frac{5}{7} $$

これらの共通範囲をとると、$-2 \leqq p \leqq -\frac{5}{7}$ となる。

問題の条件 $p < 0$ を満たすので、求める範囲は $-2 \leqq p \leqq -\frac{5}{7}$ である。

解説

空間ベクトルにおける、点から平面に下ろした垂線の足の座標を求める典型問題です。

平面上の任意の点は、平面を定める2つの1次独立なベクトルを用いて表すことができます。このとき、「直線と平面が垂直である」という条件は「直線が、平面上の任意のベクトルと垂直である」こと、すなわち「平面を定める2つのベクトルそれぞれと垂直である」ことに帰着させて内積を利用するのが標準的な解法（解法1）です。

また、解法2のように平面の法線ベクトルを先に見つけることで、計算の見通しが良くなることもあります。特に(1)だけであれば解法2の方が連立方程式が簡単になりますが、本問は(2)で三角形の内部にある条件を扱うため、最終的に斜交座標系（$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ による成分表示）への変換が必要になります。

三角形の周または内部にある条件は、位置ベクトル $\overrightarrow{OQ} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ に対して $s \geqq 0, t \geqq 0, s+t \leqq 1$ となることです。これを満たす $p$ の連立不等式を解く際、前提条件である「$p$ は負の実数」との共通部分をとることを忘れないように注意が必要です。