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北海道大学 2019年文系第2問解説

方針・初手

(1) 直線と直線のなす角 $\theta$ の正接（$\tan\theta$）を求める問題である。2直線の傾きを求めて正接の加法定理を利用するか、2つの方向ベクトルから内積を用いて $\cos\theta$ を求め、三角比の相互関係から $\tan\theta$ を導出するのが定石である。

(2) (1) で求めた $\tan\theta$ の式は $\frac{x}{ax^2+bx+c}$ の形となる。$x > 0$ であるため、分母分子を $x$ で割り、分母に相加平均と相乗平均の大小関係を適用することで最小値を求め、全体の最大値を決定する手法がもっとも簡明である。数学IIIの商の微分法を用いて増減を調べてもよい。

解法1

(1)

直線 $\text{AB}$ と直線 $\text{AC}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\alpha, \beta$ とする。点 $\text{A}(x, 0)$、$x > 0$ であり、点 $\text{B}, \text{C}$ の $x$ 座標は負であるから、直線 $\text{AB}, \text{AC}$ は $x$ 軸に垂直ではない。直線 $\text{AB}$ の傾きは $\tan\alpha$、直線 $\text{AC}$ の傾きは $\tan\beta$ と表せるため、

$$ \tan\alpha = \frac{2 - 0}{-2 - x} = -\frac{2}{x + 2} $$

$$ \tan\beta = \frac{3 - 0}{-3 - x} = -\frac{3}{x + 3} $$

となる。2直線 $\text{AB}, \text{AC}$ のなす角 $\theta$ は $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であるから、

$$ \tan\theta = |\tan(\alpha - \beta)| $$

が成り立つ。正接の加法定理より、絶対値の中身は、

$$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} $$

$$ = \frac{-\frac{2}{x+2} - \left(-\frac{3}{x+3}\right)}{1 + \left(-\frac{2}{x+2}\right)\left(-\frac{3}{x+3}\right)} $$

分母分子に $(x+2)(x+3)$ を掛けて整理すると、

$$ = \frac{-2(x+3) + 3(x+2)}{(x+2)(x+3) + 6} $$

$$ = \frac{x}{x^2 + 5x + 12} $$

ここで $x > 0$ であるから、$\frac{x}{x^2 + 5x + 12} > 0$ となる。したがって、絶対値記号はそのまま外すことができ、

$$ \tan\theta = \frac{x}{x^2 + 5x + 12} $$

(2)

(1) の結果より、

$$ \tan\theta = \frac{x}{x^2 + 5x + 12} $$

$x > 0$ であるから、分母分子を $x$ で割ると、

$$ \tan\theta = \frac{1}{x + \frac{12}{x} + 5} $$

$x > 0, \frac{12}{x} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ x + \frac{12}{x} \geqq 2\sqrt{x \cdot \frac{12}{x}} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3} $$

等号が成立するのは $x = \frac{12}{x}$ のときであり、$x > 0$ より $x^2 = 12$ すなわち $x = 2\sqrt{3}$ のときである。したがって、分母 $x + \frac{12}{x} + 5$ は $x = 2\sqrt{3}$ のとき最小値 $4\sqrt{3} + 5$ をとる。分母が正の値をとって最小となるとき、$\tan\theta$ は最大となるから、求める最大値は、

$$ \frac{1}{4\sqrt{3} + 5} = \frac{5 - 4\sqrt{3}}{(5 + 4\sqrt{3})(5 - 4\sqrt{3})} $$

$$ = \frac{5 - 4\sqrt{3}}{25 - 48} = \frac{4\sqrt{3} - 5}{23} $$

以上より、$x = 2\sqrt{3}$ のとき、最大値 $\frac{4\sqrt{3} - 5}{23}$ をとる。

解法2

(1)

ベクトルを用いて解く。$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ は、

$$ \vec{AB} = (-2-x, 2) $$

$$ \vec{AC} = (-3-x, 3) $$

である。これらの内積 $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ と、それぞれの大きさの2乗は以下のようになる。

$$ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2-x)(-3-x) + 2 \cdot 3 = x^2 + 5x + 12 $$

$$ |\vec{AB}|^2 = (-2-x)^2 + 2^2 = x^2 + 4x + 8 $$

$$ |\vec{AC}|^2 = (-3-x)^2 + 3^2 = x^2 + 6x + 18 $$

$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ のなす角 $\theta$ について、$\cos\theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}$ であり、両辺を2乗すると、

$$ \cos^2\theta = \frac{(x^2 + 5x + 12)^2}{(x^2 + 4x + 8)(x^2 + 6x + 18)} $$

ここで、三角比の相互関係 $\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} - 1$ を用いると、

$$ \tan^2\theta = \frac{(x^2 + 4x + 8)(x^2 + 6x + 18)}{(x^2 + 5x + 12)^2} - 1 $$

$$ = \frac{(x^4 + 10x^3 + 50x^2 + 120x + 144) - (x^4 + 10x^3 + 49x^2 + 120x + 144)}{(x^2 + 5x + 12)^2} $$

$$ = \frac{x^2}{(x^2 + 5x + 12)^2} $$

条件より $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であるから $\tan\theta > 0$ である。また $x > 0$ であるから、平方根をとって、

$$ \tan\theta = \frac{x}{x^2 + 5x + 12} $$

(2)

(1)より、関数 $f(x)$ を次のように定める。

$$ f(x) = \frac{x}{x^2 + 5x + 12} \quad (x > 0) $$

$f(x)$ を $x$ で微分すると、商の微分法より、

$$ f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 5x + 12) - x \cdot (2x + 5)}{(x^2 + 5x + 12)^2} $$

$$ = \frac{-x^2 + 12}{(x^2 + 5x + 12)^2} $$

$f'(x) = 0$ とすると、$x > 0$ より $x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ である。 $x > 0$ における $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$2\sqrt{3}$	$\cdots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f(x)$ は $x = 2\sqrt{3}$ で極大かつ最大となる。そのときの最大値は、

$$ f(2\sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3}}{(2\sqrt{3})^2 + 5(2\sqrt{3}) + 12} $$

$$ = \frac{2\sqrt{3}}{24 + 10\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{12 + 5\sqrt{3}} $$

分母の有理化を行うと、

$$ = \frac{\sqrt{3}(5\sqrt{3} - 12)}{(5\sqrt{3} + 12)(5\sqrt{3} - 12)} $$

$$ = \frac{15 - 12\sqrt{3}}{75 - 144} = \frac{15 - 12\sqrt{3}}{-69} = \frac{4\sqrt{3} - 5}{23} $$

以上より、$x = 2\sqrt{3}$ のとき、最大値 $\frac{4\sqrt{3} - 5}{23}$ をとる。

解説

(1) は、直線のなす角に関する典型的な問題である。2直線の傾きを求めて正接の加法定理を用いる解法と、ベクトルの内積から攻める解法の2つが主流である。加法定理を用いる場合は、角が鋭角・鈍角どちらになるかに注意して絶対値をつけるか、傾きの大小関係を把握しておく必要がある。

(2) のように $\frac{x}{ax^2+bx+c}$ の形をした関数の最大値・最小値を求める問題では、分母分子を $x$ で割って「相加平均と相乗平均の大小関係」を用いると、微分を回避して手早く処理できる。理系であれば商の微分法で計算してもよいが、式変形の手間を考慮すると相加相乗平均の利用が有力な選択肢となる。最後に分母を有理化する計算ミスには気をつけたい。