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九州大学 1966年理系第4問解説

方針・初手

(1) は、曲線①が $x$ 軸と交わる条件 $y=0$ から媒介変数 $t$ を求め、それを $x$ の式に代入することで $u$ を $\theta$ の式で表します。その後は微分または三角関数の性質を用いて増減を調べます。

(2) は、曲線①の式から媒介変数 $t$ を消去して $x, y$ の関係式（軌跡の方程式）を求めます。その後、曲線②の方程式と連立して得られる $x$ の2次方程式が、異なる2つの実数解をもたないための条件（判別式 $D \leqq 0$）を考えます。

(3) は、(2) で求めた $\tan\theta$ の範囲と、(1) で調べた $u$ の増減を照らし合わせて最大値を考えます。

解法1

(1)

曲線①において $y = 0$ とすると、

$$t\sin\theta - \frac{t^2}{2} = 0$$

$$t(2\sin\theta - t) = 0$$

よって、$t = 0, 2\sin\theta$ である。曲線①が $x$ 軸と交わる点のうち、原点（$x=0, y=0$）と異なるものは $t \neq 0$ のときである。これを $x = t\cos\theta$ に代入して得られる $x$ 座標が $u$ であるから、

$$u = 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$$

$0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$0 \leqq 2\theta < \pi$ である。 $\theta$ について微分すると、

$$\frac{du}{d\theta} = 2\cos 2\theta$$

$\frac{du}{d\theta} \geqq 0$ となるのは $0 \leqq 2\theta \leqq \frac{\pi}{2}$、すなわち $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ のときである。 $\frac{du}{d\theta} \leqq 0$ となるのは $\frac{\pi}{2} \leqq 2\theta < \pi$、すなわち $\frac{\pi}{4} \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$ のときである。

したがって、$u$ の増加する区間は $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$、減少する区間は $\frac{\pi}{4} \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$ である。

(2)

$0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\cos\theta \neq 0$ であるから、曲線①の $x = t\cos\theta$ より $t = \frac{x}{\cos\theta}$ となる。これを $y = t\sin\theta - \frac{t^2}{2}$ に代入して $t$ を消去すると、

$$y = \frac{x}{\cos\theta}\sin\theta - \frac{1}{2}\left(\frac{x}{\cos\theta}\right)^2$$

$$y = x\tan\theta - \frac{x^2}{2\cos^2\theta}$$

ここで $\frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \tan^2\theta$ を用いると、

$$y = -\frac{1}{2}(1 + \tan^2\theta)x^2 + x\tan\theta \cdots\cdots \text{③}$$

これが曲線①の方程式である。曲線①と曲線② $y = \frac{1}{4}(2x^2 - 2x + 1) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$ が共有点をもつための条件を調べる。両式から $y$ を消去すると、

$$-\frac{1}{2}(1 + \tan^2\theta)x^2 + x\tan\theta = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$$

両辺を $2$ 倍して整理すると、

$$-(1 + \tan^2\theta)x^2 + 2x\tan\theta = x^2 - x + \frac{1}{2}$$

$$(2 + \tan^2\theta)x^2 - (2\tan\theta + 1)x + \frac{1}{2} = 0 \cdots\cdots \text{④}$$

曲線①が曲線②と $2$ 点で交わらないための条件は、$x$ についての $2$ 次方程式④が異なる $2$ つの実数解をもたないことである。 ④の判別式を $D$ とすると、$D \leqq 0$ であればよい。

$$D = \{-(2\tan\theta + 1)\}^2 - 4 \cdot (2 + \tan^2\theta) \cdot \frac{1}{2}$$

$$D = 4\tan^2\theta + 4\tan\theta + 1 - 2(2 + \tan^2\theta)$$

$$D = 2\tan^2\theta + 4\tan\theta - 3$$

したがって、

$$2\tan^2\theta + 4\tan\theta - 3 \leqq 0$$

$2X^2 + 4X - 3 = 0$ の解は $X = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 2 \cdot (-3)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ であるから、不等式の解は

$$\frac{-2 - \sqrt{10}}{2} \leqq \tan\theta \leqq \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}$$

条件 $0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\tan\theta \geqq 0$ であるから、求める範囲は

$$0 \leqq \tan\theta \leqq \frac{\sqrt{10} - 2}{2}$$

(3)

(2) で求めた範囲は $0 \leqq \tan\theta \leqq \frac{\sqrt{10} - 2}{2}$ である。ここで、$\sqrt{10} < \sqrt{16} = 4$ であるから、

$$\frac{\sqrt{10} - 2}{2} < \frac{4 - 2}{2} = 1$$

したがって、(2) の範囲における $\theta$ は $0 \leqq \tan\theta < 1$ より、$0 \leqq \theta < \frac{\pi}{4}$ を満たす。

(1) の結果より、$u$ は $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ の区間で単調に増加する。また、$\tan\theta$ は $0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$ において $\theta$ とともに単調に増加する。

ゆえに、(2) の範囲で $u$ を最大にするのは $\theta$ が最大となるときであり、それは $\tan\theta$ が最大となるときと一致する。したがって、$u$ を最大にする $\tan\theta$ の値は、

$$\tan\theta = \frac{\sqrt{10} - 2}{2}$$

解説

媒介変数表示された曲線の扱い、2次曲線の交点条件、そして三角関数の増減を総合的に問う標準的な問題です。

(1) では、媒介変数 $t$ を用いて立式し、速やかに $\sin 2\theta$ の形に持ち込むことがポイントです。 (2) では、媒介変数を消去して $x, y$ の方程式を導出する際、$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ の関係を用いて整理すると計算が見通しやすくなります。「2点で交わらない」という条件は「共有点が1個以下」と同義であるため、判別式 $D \leqq 0$ となります。 (3) は、(1) で求めた $u$ を $\tan\theta$ の式で表して微分して増減を調べることも可能ですが、解答のように (2) で求めた $\tan\theta$ の上限が $1$ より小さいことに着目し、(1) で調べた単調性を利用すると計算量を大幅に減らすことができます。