東北大学 2015年 理系 第1問 解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $P=(a,b)$ とおく。接線の傾きを求めれば、それに垂直な直線 $m$ の方程式が出る。すると $m$ の $x$ 切片、$y$ 切片が分かるので、三角形の面積 $S$ を $a,b$ で表せる。あとは楕円

$$ a^2+4b^2=1 $$

の条件のもとでその式を最大化すればよい。

解法1

$P=(a,b)$ とおく。ただし $a>0,\ b>0$ である。

曲線 $C$ は

$$ x^2+4y^2=1 $$

であるから、両辺を $x$ で微分すると

$$ 2x+8y\frac{dy}{dx}=0 $$

となる。したがって、点 $P$ における接線 $l$ の傾きは

$$ -\frac{a}{4b} $$

である。

よって、これに垂直な直線 $m$ の傾きは

$$ \frac{4b}{a} $$

であり、その方程式は

$$ y-b=\frac{4b}{a}(x-a) $$

すなわち

$$ y=\frac{4b}{a}x-3b $$

となる。

ここで、$m$ の $x$ 切片は $y=0$ として

$$ 0=\frac{4b}{a}x-3b \quad\Rightarrow\quad x=\frac{3a}{4} $$

である。また、$y$ 切片は $x=0$ として

$$ y=-3b $$

である。

したがって、$x$ 軸、$y$ 軸、直線 $m$ で囲まれる三角形の面積 $S$ は

$$ S=\frac{1}{2}\cdot \frac{3a}{4}\cdot 3b=\frac{9ab}{8} $$

となる。

次に、条件

$$ a^2+4b^2=1 $$

を用いて $ab$ を最大化する。ここで

$$ a=\cos\theta,\qquad 2b=\sin\theta $$

とおくと、$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ であり、

$$ ab=\cos\theta\cdot \frac{1}{2}\sin\theta=\frac{1}{4}\sin 2\theta $$

だから

$$ S=\frac{9}{8}ab=\frac{9}{32}\sin 2\theta $$

となる。

$\sin 2\theta\leqq 1$ より、

$$ S\leqq \frac{9}{32} $$

であり、等号は

$$ 2\theta=\frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{4} $$

のときに成り立つ。したがって

$$ S_{\max}=\frac{9}{32} $$

である。

このとき

$$ a=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad b=\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2\sqrt{2}} $$

より、点 $P$ の座標は

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) $$

である。

解法2

面積は

$$ S=\frac{9ab}{8} $$

と表されるので、あとは $a^2+4b^2=1$ のもとで $ab$ を最大化すればよい。

相加相乗平均より

$$ a^2+4b^2\geqq 2\sqrt{a^2\cdot 4b^2}=4ab $$

であるから、

$$ 1=a^2+4b^2\geqq 4ab $$

すなわち

$$ ab\leqq \frac{1}{4} $$

を得る。

したがって

$$ S=\frac{9ab}{8}\leqq \frac{9}{8}\cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{32} $$

である。

等号成立は

$$ a^2=4b^2 $$

すなわち $a=2b$ のときである。これを

$$ a^2+4b^2=1 $$

に代入すると

$$ (2b)^2+4b^2=1 \quad\Rightarrow\quad 8b^2=1 \quad\Rightarrow\quad b=\frac{1}{2\sqrt{2}},\qquad a=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

となる。よって

$$ S_{\max}=\frac{9}{32},\qquad P=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) $$

である。

解説

まず法線 $m$ の方程式を求め、切片から面積を出すのが基本方針である。ここで面積が

$$ S=\frac{9ab}{8} $$

と、結局は $ab$ の最大化に帰着するのがこの問題の本質である。

その後は、楕円

$$ a^2+4b^2=1 $$

を三角関数で媒介変数表示してもよいし、$a$ と $2b$ に注目して不等式で処理してもよい。後者の方が計算は短い。

答え

$$ S_{\max}=\frac{9}{32} $$

そのときの $P$ の座標は

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) $$