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北海道大学 1964年理系第2問解説

方針・初手

実数係数の方程式が虚数解をもつとき、その共役複素数も解となる性質を利用する。 3次方程式の3つの根が $1-\sqrt{3}i$, $1+\sqrt{3}i$, および実数 $r$ と表せることから、因数定理や解と係数の関係を用いて定数 $a, b, c$ を $r$ の式として表す。その後、2つの方程式がただ1つの根を共有するという条件から、共有する根がどれであるかを絞り込む。

解法1

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ は実数係数であるから、虚数根 $x = 1 - \sqrt{3}i$ をもつならば、その共役複素数 $x = 1 + \sqrt{3}i$ もこの方程式の根となる。

この2つの根をもつ2次方程式は、2根の和が $2$、積が $1^2 - (\sqrt{3}i)^2 = 4$ であるから、

$$ x^2 - 2x + 4 = 0 $$

となる。したがって、3次方程式の左辺 $x^3 + ax^2 + bx + c$ は $x^2 - 2x + 4$ で割り切れる。 3次方程式のもう1つの根を実数 $r$ とおくと、左辺は次のように因数分解できる。

$$ x^3 + ax^2 + bx + c = (x^2 - 2x + 4)(x - r) $$

右辺を展開して整理すると、

$$ (x^2 - 2x + 4)(x - r) = x^3 + (-r - 2)x^2 + (2r + 4)x - 4r $$

両辺の係数を比較して、定数 $a, b, c$ は実数 $r$ を用いて次のように表される。

$$ \begin{cases} a = -r - 2 \\ b = 2r + 4 \\ c = -4r \end{cases} $$

ここで、3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の根は $1 \pm \sqrt{3}i$ と $r$ である。この方程式と2次方程式 $x^2 + ax + 2 = 0$ がただ1つの根を共有する条件を考える。

もし、共有する根が $1 - \sqrt{3}i$ または $1 + \sqrt{3}i$ であると仮定する。 2次方程式 $x^2 + ax + 2 = 0$ の係数も実数であるため、一方の虚数が根であればその共役複素数も必ず根となり、2つの根を共有することになってしまう。これは「1根のみを共有する」という条件に矛盾する。

したがって、共有するただ1つの根は、実数 $r$ でなければならない。 $x = r$ が $x^2 + ax + 2 = 0$ の根であるから、

$$ r^2 + ar + 2 = 0 $$

が成り立つ。ここに $a = -r - 2$ を代入すると、

$$ r^2 + (-r - 2)r + 2 = 0 $$

これを展開・整理すると、

$$ -2r + 2 = 0 $$

$$ r = 1 $$

を得る。$r = 1$ のとき、各定数の値は以下のようになる。

$$ a = -1 - 2 = -3 $$

$$ b = 2 \cdot 1 + 4 = 6 $$

$$ c = -4 \cdot 1 = -4 $$

最後に、求めた値の組 $(a, b, c) = (-3, 6, -4)$ が題意を満たすか確認する（十分性の確認）。このとき、2次方程式は $x^2 - 3x + 2 = 0$ となり、左辺を因数分解すると $(x - 1)(x - 2) = 0$ より根は $x = 1, 2$ である。また、3次方程式の根は $1, 1 \pm \sqrt{3}i$ である。したがって、2つの方程式は $x = 1$ という1根のみを共有し、確実に条件を満たしている。

解説

実数係数の方程式において、虚数解が共役なペアで存在するという極めて重要な性質を利用する問題である。この性質により、3次方程式の3つの根のうち2つが確定するため、残りの1つの実数解を文字でおいて係数を比較する定石に持ち込める。また、「1根のみを共有する」という条件から、共有する根が虚数ではなく実数解に確定する論理の絞り込みも頻出の考え方である。最後に、求めた値で逆に方程式の解を求め、本当に共有する根が1つだけになるかを確認する手順を踏むことで、論理の飛躍や十分性の欠落を防ぐことができる。