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北海道大学 1975年理系第6問解説

方針・初手

(1) 指定された $t=e$ の関数を微分して導関数および第2次導関数を求め、符号変化を調べて増減と凹凸を判定する。極限や座標軸との交点も調べ、グラフの特徴を把握する。

(2) $t$ を定数とみて関数を微分し、極値をとる条件から最大値となる点の座標 $(X, Y)$ を $t$ を用いて表す。そこから媒介変数 $t$ を消去して軌跡の方程式を導く。

(3) 3つの曲線と $x$ 軸の上下関係や交点を整理し、囲まれる領域の境界を明確にする。定積分を用いて面積を立式する際、領域を適切に分割するか、上側の境界と下側の境界で分けて積分を構成すると計算が見通しやすくなる。

解法1

(1)

$t=e$ のとき、曲線 $C_e$ の方程式は以下のようになる。

$$ y = 2ee^x - e^{2x} = 2e^{x+1} - e^{2x} $$

$y$ を $x$ で微分すると、次のようになる。

$$ y' = 2e^{x+1} - 2e^{2x} = 2e^x(e - e^x) $$

さらに微分して第2次導関数を求める。

$$ y'' = 2e^{x+1} - 4e^{2x} = 2e^x(e - 2e^x) $$

$y'' = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$ e - 2e^x = 0 \iff e^x = \frac{e}{2} \iff x = 1 - \log 2 $$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$ e - e^x = 0 \iff e^x = e \iff x = 1 $$

これにより、増減と凹凸の表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	$1 - \log 2$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$y'$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$y''$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$y$	$\nearrow$	変曲点	$\nearrow$	極大	$\searrow$

$x = 1 - \log 2$ のとき、$e^x = \frac{e}{2}$ であるから、そのときの $y$ 座標は以下のようになる。

$$ y = 2e\left(\frac{e}{2}\right) - \left(\frac{e}{2}\right)^2 = e^2 - \frac{e^2}{4} = \frac{3}{4}e^2 $$

よって、変曲点の座標は $(1 - \log 2, \frac{3}{4}e^2)$ である。

また、$x \to -\infty$ および $x \to \infty$ の極限を調べる。

$$ \lim_{x \to -\infty} (2e^{x+1} - e^{2x}) = 0 $$

$$ \lim_{x \to \infty} e^{2x}(2e^{1-x} - 1) = -\infty $$

さらに、$y=0$ となる $x$ 座標（$x$ 軸との交点）を求める。

$$ 2e^{x+1} - e^{2x} = 0 \iff e^x(2e - e^x) = 0 \iff e^x = 2e \iff x = 1 + \log 2 $$

これらより、曲線 $C_e$ の概形は以下の特徴を持つ。

変曲点 $(1 - \log 2, \frac{3}{4}e^2)$ を境に、下に凸から上に凸へ変わる。
$x=1$ で極大値 $e^2$ をとる。
直線 $y=0$ ($x$ 軸) を $x \to -\infty$ における漸近線にもつ。
$x$ 軸と $x = 1 + \log 2$ で交わり、右下がりで発散する。

(2)

曲線 $C_t: y = 2te^x - e^{2x}$ について、$y$ を $x$ で微分する。

$$ y' = 2te^x - 2e^{2x} = 2e^x(t - e^x) $$

$y' = 0$ となるのは $e^x = t$ のときであり、$t > 0$ より $x = \log t$ となる。 $x < \log t$ のとき $e^x < t$ より $y' > 0$、$x > \log t$ のとき $e^x > t$ より $y' < 0$ となるから、$y$ は $x = \log t$ で最大となる。

このときの $y$ 座標は以下のようになる。

$$ y = 2t(t) - t^2 = t^2 $$

したがって、$y$ 座標が最大となる点 $P_t$ の座標は $(\log t, t^2)$ である。点 $P_t$ の座標を $(X, Y)$ とおくと、次の関係が成り立つ。

$$ \begin{cases} X = \log t \\ Y = t^2 \end{cases} $$

$X = \log t$ より $t = e^X$ であり、これを $Y = t^2$ に代入する。

$$ Y = (e^X)^2 = e^{2X} $$

$t > 0$ が変化するとき、$\log t$ はすべての実数値をとるため、$X$ はすべての実数値をとる。よって、求める曲線 $K$ の方程式は $y = e^{2x}$ である。

(3)

$C_t$ が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を求める。$2te^x - e^{2x} = 0$ を解くと、$e^x = 2t$ より $x = \log(2t)$ である。点 $P_t$ は曲線 $K$ 上にあるため、与えられた条件 $0 < a < b$ に対して、$x = \log a$ から $x = \log b$ までの区間に曲線 $K$ の弧 $P_aP_b$ が存在する。

囲まれる領域の境界について考える。 $C_b$ は $x = \log b$ で最大値 $b^2$ をとり、$x = \log(2b)$ で $x$ 軸と交わる。 $C_a$ は $x = \log a$ で最大値 $a^2$ をとり、$x = \log(2a)$ で $x$ 軸と交わる。任意の $x$ において $2ae^x - e^{2x} < 2be^x - e^{2x}$ であるから、曲線 $C_b$ は曲線 $C_a$ より上側にある。

求める面積を $S$ とすると、領域の上側の境界は、区間 $\log a \leqq x \leqq \log b$ で曲線 $K$、区間 $\log b \leqq x \leqq \log(2b)$ で曲線 $C_b$ となる。一方、下側の境界は、区間 $\log a \leqq x \leqq \log(2a)$ で曲線 $C_a$、区間 $\log(2a) \leqq x \leqq \log(2b)$ で $x$ 軸 ($y=0$) となる。したがって、面積 $S$ は次のように上側境界の定積分から下側境界の定積分を引くことで求められる。

$$ S = \int_{\log a}^{\log b} e^{2x} dx + \int_{\log b}^{\log(2b)} (2be^x - e^{2x}) dx - \int_{\log a}^{\log(2a)} (2ae^x - e^{2x}) dx $$

ここで、一般の $t > 0$ に対して定積分 $I(t)$ を次のように定義して計算しておく。

$$ \begin{aligned} I(t) &= \int_{\log t}^{\log(2t)} (2te^x - e^{2x}) dx \\ &= \left[ 2te^x - \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{\log t}^{\log(2t)} \\ &= \left( 2t(2t) - \frac{1}{2}(2t)^2 \right) - \left( 2t(t) - \frac{1}{2}t^2 \right) \\ &= 2t^2 - \frac{3}{2}t^2 \\ &= \frac{1}{2}t^2 \end{aligned} $$

これを用いると、面積 $S$ の式は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S &= \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{\log a}^{\log b} + I(b) - I(a) \\ &= \frac{1}{2}(b^2 - a^2) + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 \\ &= b^2 - a^2 \end{aligned} $$

解説

(1) では変曲点を求めるだけでなく、概形を描くための主要な情報（極限、漸近線、切片）を過不足なく提示することが重要である。(2) は軌跡の標準的な問題であり、媒介変数 $t$ を消去する手順を確実に踏む。(3) は図形が複雑になりやすいため、各曲線の位置関係（特に $P_t$ が $C_t$ の最大値の点であり、かつ $K$ 上にあること）を正確に把握することが面積立式の鍵となる。定積分の計算においては、共通の構造をもつ部分を一般化して計算することで、ミスを防ぐことができる。