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大阪大学 1982年理系第5問解説

方針・初手

(1) の不等式証明は、差をとって関数としておき、微分して最小値が $0$ 以上であることを示す標準的な手法で解決できる。式の形から、右辺が関数 $y = x \log x$ の $x = k$ における接線の方程式であることを見抜ければ、関数の凸性を利用して証明することも可能である。 (2) では、数列の和 $a_n$ と定積分の大小を比較する。(1) で示した不等式を、幅が $1$ となる適当な区間で積分することで $k \log k$ を作り出する。一次式の積分が $0$ になるように、積分区間を $k$ を中心とする対称な区間 $\left[ k-\frac{1}{2}, k+\frac{1}{2} \right]$ に設定することが最大のポイントである。後半は定積分を実際に計算し、値の評価を行う。

解法1

(1)

$$ f(x) = x \log x - \{ (1 + \log k)(x - k) + k \log k \} $$

とおく。これを $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = (\log x + 1) - (1 + \log k) = \log x - \log k $$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = k$ である。 $k > 1$ であるから、$x \geqq 1$ の範囲における $f'(x)$ の符号を調べると、$1 \leqq x < k$ では $f'(x) < 0$、$x > k$ では $f'(x) > 0$ となる。したがって、$f(x)$ は $x=k$ で最小値をとる。その最小値は、

$$ f(k) = k \log k - \{ (1 + \log k)(k - k) + k \log k \} = 0 $$

よって、$x \geqq 1$ において $f(x) \geqq 0$ が成り立つ。すなわち、

$$ x \log x \geqq (1 + \log k)(x - k) + k \log k $$

が示された。

(2)

(1) で示した不等式

$$ x \log x \geqq (1 + \log k)(x - k) + k \log k \quad \cdots ① $$

の両辺を、$x$ について区間 $\left[ k-\frac{1}{2}, k+\frac{1}{2} \right]$ で定積分する。関数 $x \log x$ と $(1 + \log k)(x - k) + k \log k$ は、この区間において $x=k$ の $1$ 点でのみ等しく、それ以外の点では $x \log x > (1 + \log k)(x - k) + k \log k$ であるから、定積分すると等号は外れて真の不等号となる。

$$ \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} x \log x \,dx > \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} \{ (1 + \log k)(x - k) + k \log k \} \,dx $$

右辺の積分を計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} \{ (1 + \log k)(x - k) + k \log k \} \,dx &= \left[ \frac{1}{2}(1 + \log k)(x - k)^2 + k \log k \cdot x \right]_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} \\ &= (1 + \log k) \left\{ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)^2 \right\} + k \log k \left\{ \left(k+\frac{1}{2}\right) - \left(k-\frac{1}{2}\right) \right\} \\ &= 0 + k \log k \cdot 1 \\ &= k \log k \end{aligned} $$

ゆえに、

$$ k \log k < \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} x \log x \,dx \quad \cdots ② $$

が成り立つ。 $②$ の不等式において、$k = 2, 3, \cdots, n$ として辺々を加えると、

$$ \sum_{k=2}^n k \log k < \sum_{k=2}^n \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} x \log x \,dx $$

左辺は $a_n$ であり、右辺は積分区間がつながって $\int_{\frac{3}{2}}^{n+\frac{1}{2}} x \log x \,dx$ となる。したがって、

$$ a_n < \int_{\frac{3}{2}}^{n+\frac{1}{2}} x \log x \,dx \quad \cdots ③ $$

が示された。

次に、この定積分を実際に計算して右側の不等式を示す。部分積分法を用いると、

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{3}{2}}^{n+\frac{1}{2}} x \log x \,dx &= \int_{\frac{3}{2}}^{n+\frac{1}{2}} \left(\frac{x^2}{2}\right)' \log x \,dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{\frac{3}{2}}^{n+\frac{1}{2}} - \int_{\frac{3}{2}}^{n+\frac{1}{2}} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \,dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} \right]_{\frac{3}{2}}^{n+\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{2}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2 \log\left(n+\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{4}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2 - \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} \log\frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \right) \\ &= \frac{1}{2}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2 \left\{ \log\left(n+\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \right\} - \frac{9}{8} \log\frac{3}{2} + \frac{9}{16} \end{aligned} $$

ここで、$\frac{3}{2} > 1$ であるから $\log\frac{3}{2} > 0$ であり、$-\frac{9}{8} \log\frac{3}{2} < 0$ となる。また、$\frac{9}{16} < 1$ であるから、

$$ - \frac{9}{8} \log\frac{3}{2} + \frac{9}{16} < 1 $$

が成り立つ。よって、

$$ \int_{\frac{3}{2}}^{n+\frac{1}{2}} x \log x \,dx < \frac{1}{2}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2 \left\{ \log\left(n+\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \right\} + 1 \quad \cdots ④ $$

が示された。

$③$, $④$ より、

$$ a_n < \int_{\frac{3}{2}}^{n+\frac{1}{2}} x \log x \,dx < \frac{1}{2}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2 \left\{ \log\left(n+\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \right\} + 1 $$

が成り立つことが示された。

解法2

(1)

曲線 $y = x \log x$ を考える。 $y' = \log x + 1$、$y'' = \frac{1}{x}$ である。 $x \geqq 1$ において $y'' > 0$ であるから、この曲線は $x \geqq 1$ の範囲で下に凸である。曲線上の点 $(k, k \log k)$ における接線の方程式は、

$$ y - k \log k = (\log k + 1)(x - k) $$

すなわち

$$ y = (1 + \log k)(x - k) + k \log k $$

となる。下に凸な曲線は、接点以外の点ではその接線よりも常に上側にあるため、すべての $x \geqq 1$ において

$$ x \log x \geqq (1 + \log k)(x - k) + k \log k $$

が成り立つ（等号成立は $x=k$ のとき）。

解説

関数の凸性と面積評価（区分求積法の拡張）をテーマにした、微積分における不等式証明の典型問題である。 (1) の不等式の右辺が、関数 $y = x \log x$ の $x = k$ における接線の方程式であることを見抜ければ、解法2のように凸性の性質から直感的に結果を導くことができる。 (2) は、(1) で得た接線を区間幅 $1$ で積分することで、長方形の面積に相当する $k \log k$ をうまく作り出す発想が鍵となる。積分区間を単なる $[k, k+1]$ ではなく、$k$ を中心とした対称な区間 $\left[ k-\frac{1}{2}, k+\frac{1}{2} \right]$ を選ぶことで、一次式の積分をうまく消去できるという見事な構成になっている。後半の積分計算は部分積分法を用いる標準的な処理である。