トップ› 北海道大学› 1976年› 理系第6問

北海道大学 1976年理系第6問解説

方針・初手

行列 $A$ が $A^2 = A$ を満たすという条件から、各成分を比較して連立方程式を解くか、ケーリー・ハミルトンの定理を利用して $a, d$ および $ad-bc$ に関する条件を導き出す。 (1) では指定された文字 $a, c$ を消去することが目標である。(2) では $A - tE$ が逆行列をもたない条件、すなわち行列式 $\det(A - tE) = 0$ となるような実数 $t$ を求める。

解法1

行列 $A$ の2乗を計算すると、以下のようになる。

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2 \end{pmatrix} $$

条件 $A^2 = A$ より、各成分を比較して以下の4つの式が得られる。

$$ \begin{cases} a^2 + bc = a & \cdots \text{①} \\ b(a + d) = b & \cdots \text{②} \\ c(a + d) = c & \cdots \text{③} \\ bc + d^2 = d & \cdots \text{④} \end{cases} $$

②より $b(a + d - 1) = 0$ となるため、$b \neq 0$ の場合と $b = 0$ の場合で分ける。

(i) $b \neq 0$ のとき

$a + d - 1 = 0$ すなわち $a = 1 - d$ である。 ④より $bc = d - d^2 = d(1 - d)$ となり、$b \neq 0$ であるから $c = \frac{d(1-d)}{b}$ と求まる。これらを $A$ に代入すると、$a, c$ を用いずに次のように表せる。

$$ A = \begin{pmatrix} 1-d & b \\ \frac{d(1-d)}{b} & d \end{pmatrix} $$

（このとき、①と③の等式も満たされている）

(ii) $b = 0$ のとき

④より $d^2 = d$ となり、$d = 0, 1$ である。 ①より $a^2 = a$ となり、$a = 0, 1$ である。 ③は $c(a+d-1) = 0$ となる。

$(a, d) = (0, 0)$ のとき、③より $-c = 0$ なので $c = 0$。よって $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ $(a, d) = (1, 1)$ のとき、③より $c = 0$ なので $c = 0$。よって $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $(a, d) = (1, 0)$ のとき、③は $c \cdot 0 = 0$ となり $c$ は任意の実数。よって $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}$ $(a, d) = (0, 1)$ のとき、③は $c \cdot 0 = 0$ となり $c$ は任意の実数。よって $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & 1 \end{pmatrix}$

ここで「$a, c$ を用いないで $A$ を表せ」という問題の要求から、$c$ が任意の実数として残る場合は $c$ を消去できない。したがって条件を満たすように $a, c$ を含まない定数行列として表せるのは $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ および $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ のみとなる。

(2)

$A - tE$ が逆行列をもたない条件は、$\det(A - tE) = 0$ である。

$$ \det(A - tE) = \det \begin{pmatrix} a-t & b \\ c & d-t \end{pmatrix} = (a-t)(d-t) - bc = t^2 - (a+d)t + (ad-bc) $$

(1) で求めた $A$ の形に応じて $t$ を求める。

(ア) $A = \begin{pmatrix} 1-d & b \\ \frac{d(1-d)}{b} & d \end{pmatrix}$ ($b \neq 0$) または $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & 1 \end{pmatrix}$ のとき

いずれの場合も $a+d = 1$ かつ $ad-bc = 0$ を満たしている。よって $\det(A - tE) = t^2 - t = t(t-1) = 0$ となり、$t = 0, 1$ となる。

(イ) $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ のとき

$a=d=0, b=c=0$ より、$\det(A - tE) = t^2 = 0$ となり、$t = 0$ となる。

(ウ) $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ のとき

$a=d=1, b=c=0$ より、$\det(A - tE) = t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2 = 0$ となり、$t = 1$ となる。

解法2

(1) ケーリー・ハミルトンの定理より、以下の等式が成り立つ。

$$ A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O $$

問題の条件 $A^2 = A$ を用いて $A^2$ を消去すると、次のように整理できる。

$$ (1 - a - d)A + (ad-bc)E = O \quad \cdots \text{⑤} $$

(i) $1 - a - d \neq 0$ のとき

⑤より $A = \frac{bc-ad}{1-a-d}E$ となり、$A$ は $kE$ （$k$ は実数）の形で表される。 $A^2 = A$ に代入すると $k^2 E = k E$ より $k^2 = k$ となるため、$k = 0, 1$ である。よって $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ または $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ となり、これらは $a, c$ を用いずに表されている。

(ii) $1 - a - d = 0$ のとき

$a = 1 - d$ である。このとき、⑤は $(ad-bc)E = O$ となり、$ad - bc = 0$ が成り立つ。 $a = 1 - d$ を代入すると $(1-d)d - bc = 0$ より $bc = d(1-d)$ を得る。

$b \neq 0$ のとき、$c = \frac{d(1-d)}{b}$ となるため、

$$ A = \begin{pmatrix} 1-d & b \\ \frac{d(1-d)}{b} & d \end{pmatrix} $$

と表せる。（$b = 0$ のときの議論は解法1と同様であるため省略する）

解説

$A^2 = A$ を満たす行列（冪等行列）の構造を問う典型問題である。成分比較、またはケーリー・ハミルトンの定理を利用する2つのアプローチが考えられる。 (1) では $b = 0$ のときに $c$ が任意となってしまうケースが存在するが、「$a, c$ を用いないで表せ」という制約から、解答としては $c$ を含まない確定した定数行列のみをピックアップするか、そもそも $c$ を消去できる $b \neq 0$ の場合をメインに答えることになる。 (2) は $A - tE$ の行列式（特性多項式）を考える問題である。$A^2 = A$ を満たす行列の固有値は $0$ または $1$ のみであるという背景知識があれば、見通しよく解くことができる。