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北海道大学 1977年理系第1問解説

方針・初手

与えられた条件式に $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$ の形が含まれていることに着目する。実数の平方は $0$ 以上であるという性質 $(x-y)^2 \ge 0$ を用いて、$x+y$ の取りうる値の範囲を求める。 (2) と (3) については、$x+y = k$ とおき、求める式を $k$ の関数として表したうえで、(1) で求めた $k$ の定義域における関数の最小値を微積分などを活用して調べる。

解法1

(1)

与えられた条件式を変形すると、

$$ (x-y)^2 - \sqrt{3}(x+y) + 12 = 0 $$

$$ \sqrt{3}(x+y) - 12 = (x-y)^2 $$

$x, y$ は実数であるから、$(x-y)^2 \ge 0$ が成り立つ。したがって、

$$ \sqrt{3}(x+y) - 12 \ge 0 $$

$$ x+y \ge \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} $$

等号は $x-y=0$ すなわち $x=y$ のときに成立する。このとき、もとの条件式に代入すると $\sqrt{3}(2x) - 12 = 0$ となり、$x = y = 2\sqrt{3}$ を得る。これは実数として確かに存在する。よって、$x+y$ の最小値は $4\sqrt{3}$ である。

(2)

$x+y = k$ とおく。(1) の結果から、定義域は $k \ge 4\sqrt{3}$ である。恒等式 $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$ に $x+y = k$ を代入すると、

$$ (x-y)^2 = k^2 - 4xy $$

これを (1) で導いた条件式 $\sqrt{3}(x+y) - 12 = (x-y)^2$ に代入して $xy$ について解く。

$$ \sqrt{3}k - 12 = k^2 - 4xy $$

$$ 4xy = k^2 - \sqrt{3}k + 12 $$

$$ xy = \frac{1}{4}(k^2 - \sqrt{3}k + 12) $$

$f(k) = \frac{1}{4}(k^2 - \sqrt{3}k + 12)$ とおく。この二次関数を平方完成すると、

$$ f(k) = \frac{1}{4}\left(k - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{45}{16} $$

この関数のグラフは下に凸の放物線であり、軸は直線 $k = \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。定義域である $k \ge 4\sqrt{3}$ の範囲は、放物線の軸よりも右側にあるため、この範囲において関数 $f(k)$ は単調に増加する。したがって、$f(k)$ は $k = 4\sqrt{3}$ のとき最小となる。最小値は、

$$ f(4\sqrt{3}) = \frac{1}{4} \left( (4\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} + 12 \right) = \frac{1}{4} (48 - 12 + 12) = 12 $$

このとき $x+y=4\sqrt{3}$ かつ $xy=12$ であり、二次方程式 $t^2 - 4\sqrt{3}t + 12 = 0$ を解くと $(t - 2\sqrt{3})^2 = 0$ より $t = 2\sqrt{3}$ となるため、$x = y = 2\sqrt{3}$ として実数 $x, y$ が存在する。よって、$xy$ の最小値は $12$ である。

(3)

$x^3 + y^3$ を基本対称式を用いて変形し、$x+y=k$ と (2) で得た $xy = \frac{1}{4}(k^2 - \sqrt{3}k + 12)$ を代入する。

$$ x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) $$

$$ = k^3 - 3 \cdot \frac{1}{4}(k^2 - \sqrt{3}k + 12) \cdot k $$

$$ = k^3 - \frac{3}{4}k^3 + \frac{3\sqrt{3}}{4}k^2 - 9k $$

$$ = \frac{1}{4}k^3 + \frac{3\sqrt{3}}{4}k^2 - 9k $$

$g(k) = \frac{1}{4}k^3 + \frac{3\sqrt{3}}{4}k^2 - 9k$ とおき、$k \ge 4\sqrt{3}$ における最小値を調べる。 $g(k)$ を $k$ で微分すると、

$$ g'(k) = \frac{3}{4}k^2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}k - 9 = \frac{3}{4}(k^2 + 2\sqrt{3}k - 12) $$

$g'(k) = 0$ となる $k$ の値を解の公式で求めると、

$$ k = -\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - (-12)} = -\sqrt{3} \pm \sqrt{15} $$

ここで、$4\sqrt{3} = \sqrt{48}$ であり、$\sqrt{15} < \sqrt{16} = 4$ であることから、

$$ -\sqrt{3} + \sqrt{15} < \sqrt{15} < 4 < \sqrt{48} = 4\sqrt{3} $$

したがって、$k \ge 4\sqrt{3}$ の範囲においては常に $g'(k) > 0$ である。よって、関数 $g(k)$ は $k \ge 4\sqrt{3}$ の範囲で単調に増加する。最小値は $k = 4\sqrt{3}$ のときにとり、その値は、

$$ g(4\sqrt{3}) = \frac{1}{4}(4\sqrt{3})^3 + \frac{3\sqrt{3}}{4}(4\sqrt{3})^2 - 9 \cdot 4\sqrt{3} $$

$$ = \frac{1}{4} \cdot 192\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 48 - 36\sqrt{3} $$

$$ = 48\sqrt{3} + 36\sqrt{3} - 36\sqrt{3} = 48\sqrt{3} $$

このときも $x=y=2\sqrt{3}$ であり、実数条件を満たしている。よって、$x^3+y^3$ の最小値は $48\sqrt{3}$ である。

解説

与えられた等式条件のもとで多変数の式の最大・最小を求める問題において、文字を減らす方針をとるのが定石である。本問では $(x-y)^2 \ge 0$ という実数の性質から $x+y$ の取りうる値の範囲（変域）を絞り込めるかが最大のポイントとなる。変域さえ求まれば、あとは $x+y=k$ とおいて各々の式を $k$ の関数に帰着させ、二次関数のグラフの軸の位置や微積分を用いた増減表（本問では単調増加）から最小値を求める典型的な処理に落とし込むことができる。常に実数条件（等号成立条件）を満たす $x, y$ の存在を確認することを忘れないようにしたい。